Il modulo e l’argomento di un numero complesso sono dei particolari valori reali che permettono di passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica del numero complesso e, quindi, di disegnarlo sul piano di Argand-Gauss. Vengono denotati con

$$|z|\quad modulo\>di\>z$$


$$arg(z)\quad argomento\>di\>z$$


Una prima osservazione da fare è che questi sono non banali, cioè si devono calcolare esplicitamente, nel caso in cui il numero complesso è scritto in forma algebrica, mentre nelle altre forme no. Infatti, per definizione, la forma trigonometrica e la forma esponenziale di un numero complesso \(z\) sono uguali a

$$z=r(cos(\theta) +isen(\theta))$$


$$z=re^{i\theta}$$


dove \(r\) è il modulo di \(z\) e \(\theta\) è l’argomento di \(z\). Modulo e argomento, in questo caso, stanno proprio nella scrittura del numero!
Andiamo ora a calcolarli nel caso in cui il numero complesso è scritto in forma algebrica.

Modulo di un numero complesso

Sia \(z\) un numero complesso della forma

$$z=a+ib$$


Si definisce il modulo di un numero complesso come

$$r=|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$


Questo numero è positivo poiché è la radice quadrata dei due quadrati \(a^2\) e \(b^2\).

$$r\ge 0$$


Ha un significato grafico molto importante perché ci servirà per distinguere casi differenti nel calcolo dell’argomento del numero e, come preannunciato all’inizio, per dare l’idea del passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica. Possiamo rappresentare un numero complesso sul piano immaginando l’asse delle ascisse, detta anche asse reale, come l’asse in cui giace la parte reale del numero e l’asse delle ordinate, detta anche asse immaginaria, come l’asse in cui giace la parte immaginaria del numero. Perciò si ha

$$(a,b)=a+ib$$


Detto ciò, il modulo non è altro che la distanza dall’origine delle assi \((0,0)\) del punto \((a,b)\).

Proprietà
Avendo due numeri complessi \(z\) e \(w\), gode delle seguenti proprietà:

  • \(|z+w| \le |z|+|w|\), detta disuguaglianza triangolare;
  • \(|z\cdot w| = |z|\cdot |w|\);
  • \(\biggl|\frac{z} {w}\biggl| = \frac{|z|}{ |w|}\);

Argomento di un numero complesso

L’argomento di un numero complesso è invece un numero \(\theta \) che appartiene all’intervallo \((-\pi ,\pi] \). Graficamente rappresenta l’angolo che il modulo forma con l’asse reale. Per questo nel calcolo si devono distinguere diversi casi:

  • se il numero complesso è nullo

    $$z=0+i0=(0,0)$$


    L’argomento non è definito.
  • se la parte reale del numero è nulla e la parte immaginaria è strettamente positiva, cioè

    $$(0,b)\quad b>0$$


    Allora l’angolo formato con l’asse reale è

    $$\theta = \frac{\pi}{2}$$

  • se il numero è uguale a

    $$(0,b)\quad b<0$$


    Allora l’angolo formato con l’asse reale è

    $$\theta = -\frac{\pi}{2}$$

Questi erano i 3 casi più immediati per l’argomento… analizziamo gli altri casi!
Per ragioni trigonometriche avremo la seguente formula

$$\frac{b}{a}=tg \theta$$


e quindi

$$\theta= arctg\biggl(\frac{b}{a}\biggl)$$


Ma ricordiamoci che l’arcotangente è la funzione inversa della tangente e la tangente è invertibile solo nell’intervallo \(\biggl(-\frac{\pi}{2} ,\frac{\pi}{2}\biggl) \) e quindi per valori strettamente positivi di \(a\).
I casi in cui \(a=0\) la formula qui sopra non è valida, ma non ci serve la formula come abbiamo già visto.
Nei casi in cui \(a<0\) bisogna ricordarsi che la tangente è una funzione periodica e quindi se ci troviamo nell’intervallo \(\biggl(-\pi ,-\frac{\pi}{2}\biggl) \) è come stare in \(\biggl(0,\frac{\pi}{2}\biggl) \) e se ci troviamo in \(\biggl(\frac{\pi}{2} ,\pi\biggl) \) e come stare in \(\biggl(-\frac{\pi}{2} ,0\biggl) \). Quindi ricapitolando:

  • se il numero è uguale a

    $$(a,b)\quad a>0\>e\>b\>qualunque$$


    Allora l’angolo formato con l’asse reale è

    $$\theta= arctg\biggl(\frac{b}{a}\biggl)$$

  • se il numero è uguale a

    $$(a,b)\quad a<0\>e\>b>0$$


    Stiamo nel secondo quadrante e quindi in \(\biggl(\frac{\pi}{2} ,\pi\biggl) \).
    Allora l’angolo formato con l’asse reale è

    $$\theta= arctg\biggl(\frac{b}{a}\biggl)+\pi$$

  • se il numero è uguale a

    $$(a,b)\quad a<0\>e\>b<0$$


    Stiamo nel terzo quadrante e quindi in \(\biggl(-\pi ,-\frac{\pi}{2}\biggl) \).
    Allora l’angolo formato con l’asse reale è

    $$\theta= arctg\biggl(\frac{b}{a}\biggl)-\pi$$