Massimo comun divisore e minimo comune multiplo tra polinomi

In questo articolo ci occupiamo di M.C.D. e m.c.m. tra polinomi, argomento molto importante per la risoluzione delle espressioni polinomiali frazionarie. Però, prima di partire con la definizione di M.C.D. e m.c.m, bisogna aver chiara la nozione di scomposizione in fattori irriducibili di un polinomio. Sappiamo, infatti, che possiamo scrivere un polinomio generico come prodotto di polinomi che possono essere divisi soltanto per \(1\) e per loro stessi. Questi polinomi vengono detti polinomi irriducibili. Facciamo qualche esempio per chiarire il concetto:

• il polinomio \(x^3-x\) si può scrivere come prodotto di polinomi irriducibili così
  

  $$ x^3-x = x\cdot (x+1)\cdot (x-1)$$

  
  Notiamo che i fattori \(x\), \(x+1\) e \(x-1\) sono polinomi irrudicibili, infatti sono divisibili per \(1\) e per loro stessi.
• il polinomio \(x^3+1\) si può scrivere come
  

  $$ x^3+1 = (x+1)\cdot (x^2-x+1)$$

  
  con \(x+1\) e \(x^2-x+1\) irriducibili.

La scomposizione di polinomi è un argomento affascinante e molto articolato, quindi non dilunghiamoci oltre poiché ci siamo posti come obiettivo di trovare M.C.D. e m.c.m. tra polinomi: vediamo come si calcola!

M.C.D. tra polinomi

Il M.C.D. tra polinomi è un operazione che coinvolge due o più polinomi, che ci da un polinomio divisore di tutti i polinomi coinvolti. Ricordiamo che un polinomio si dice divisibile per un altro polinomio se facendo la divisione tra i due polinomi mi dà resto \(0\). Fissiamo qui la definizione:

Il massimo comune divisore tra due o più polinomi è il massimo polinomio, cioè il polinomio di grado più alto possibile, che divide tutti i polinomi

Per trovarlo il procedimento è semplicissimo! Infatti basta:

• Scomporre tutti i polinomi, di cui vogliamo trovare il M.C.D., in fattori irriducibili.
• Il M.C.D. sarà dato dal prodotto dei fattori comuni nella scomposizione, presi una sola volta e con esponente minimo.

Siano per esempio

$$3x^3-x^2y;\quad 9x^3y+xy^3-6x^2y^2;\quad 9x^5y^2-x^3y^4;$$

• $$3x^3-x^2y$$

  
  Raccogliendo totalmente il termine \(x^2\) il polinomio diventa
  

  $$3x^3-x^2y=x^2\cdot (3x-y)$$

  
  che è già scomposto in termini irriducibili.

• $$9x^3y+xy^3-6x^2y^2$$

  
  Qui raccogliamo totalmente per il monomio \(xy\)
  

  $$9x^3y+xy^3-6x^2y^2=x\cdot y\cdot (9x^2+y^2-6xy)$$

  
  Ora il membro tra parentesi non è altro che un quadrato di un binomio
  

  $$(9x^2+y^2-6xy)=(3x-y)^2$$

  
  e quindi abbiamo la scomposizione in fattori irriducibili
  

  $$9x^3y+xy^3-6x^2y^2=x\cdot y\cdot (3x-y)^2$$

• $$9x^5y^2-x^3y^4$$

  
  Di nuovo raccogliamo per \(x^3 y^2\)
  

  $$9x^5y^2-x^3y^4=x^3\cdot y^2 \cdot (9x^2-y^2)$$

  
  Il membro tra parantesi è un prodotto tra binomi
  

  $$(9x^2-y^2)=(3x+y)\cdot (3x-y)$$

  
  perciò la scomposizione sarà
  

  $$9x^5y^2-x^3y^4=x^3\cdot y^2 \cdot (3x+y)\cdot (3x-y)$$

Ora non ci resta che prendere i fattori comuni nelle scomposizioni (sono \(x\) e (3x-y)) con esponente minimo e avremo che

$$M.C.D.= x\cdot (3x-y)$$

m.c.m. tra polinomi

Il m.c.m. tra polinomi è un operazione che coinvolge due o più polinomi definita così

Il minimo comune multiplo tra due o più polinomi è il minimo polinomio, cioè il polinomio di grado più basso possibile, che è divisibile per tutti i polinomi per cui facciamo questa operazione

Come prima, per calcolarlo dobbiamo seguire i seguenti passi:

• Scomporre tutti i polinomi, di cui vogliamo trovare il m.c.m., in fattori irriducibili.
• Il m.c.m. sarà dato dal prodotto dei fattori comuni e non comuni nella scomposizione, presi una sola volta e con esponente massimo.

Se riprendiamo i polinomi usati precedentemente

$$3x^3-x^2y=x^2\cdot (3x-y)$$

$$9x^3y+xy^3-6x^2y^2=x\cdot y\cdot (3x-y)^2$$

$$9x^5y^2-x^3y^4=x^3\cdot y^2 \cdot (3x+y)\cdot (3x-y)$$

$$m.c.m.=x^3\cdot y^2 \cdot (3x+y)\cdot (3x-y)^2$$