Nelle scuole medie abbiamo visto l’operazione di elevamento a potenza di un numero, infatti data una base \(a\) ed un esponente \(n\) abbiamo detto:

$$a^{n}=\underbrace{a\cdot a\cdot…...\cdot a}_{n-volte}=b$$

con \(b\) il risultato di tale operazione.
E ci siamo chiesti ma se noi abbiamo il valore del risultato \(b\) e dell’esponente \(n\), come si fa a calcolare \(a\)? Abbiamo, quindi, introdotto i radicali:

$$a=\sqrt[n]{b}$$

con \(b\) detto radicando e i indice del radicale. Per fare ciò abbiamo introdotto i numeri reali (in realtà abbiamo esteso i numeri razionali con i numeri numeri irrazionali, però mettiamoci sui reali per quanto diremo tra poco) perché numeri come per esempio \( \sqrt{2} \) non stanno nei numeri razionali e quindi nemmeno negli interi e nei naturali.
Ma se noi abbiamo i valori di \(a\) e \(b\), come facciamo a trovare \(n\)?
Qui entra in scena il logaritmo!

Definizione di logaritmo

Dati due numeri reali positivi a e b con \(a\neq1\), si definisce il logaritmo in base \(a\) di \(b\), l’esponente \(n\) a cui elevare \(a\) per ottenere \(b\), cioè:

$$il\>numero\>n\>tale\>che\>a^n=b$$

e si indica con:

$$n=\log_{a}{b}$$


chiamiamo \(a\) base del logaritmo, \(b\) argomento del logaritmo e \(c\) il suo valore.

Osservazione

Le condizioni su \(a\) e \(b\) sono necessarie per avere un unico n nella definizione. Infatti:

  • Se siamo nel caso \(a=0\) e \(b=0\), avremmo:

    $$ n=\log_{0}{0}\>cioè\>0^n=0$$


    che vale per ogni \(n\) nei reali e quindi n non è unico in questo caso.
  • Se siamo nel caso \(a=0\) e \(b \neq 0\), avremmo:

    $$ n=\log_{0}{b}\>cioè\>0^n=b$$


    in questo caso invece non esiste nessun \(n\) per cui vale l’uguaglianza!
  • Se siamo nel caso \(a=1\) e \(b=1\), avremmo:

    $$ n=\log_{1}{1}\>cioè\>1^n=1$$


    come prima ci sono infiniti \(n\) per cui vale l’uguaglianza.
  • Se siamo nel caso \(a=1\) e \(b\neq 1\), avremmo:

    $$ n=\log_{1}{b}\>cioè\>1^n=b$$


    non esiste nessun \(n\) per cui vale.
  • Se \(a<0\) allora n non potrà mai essere un numero razionale con denominatore pari, quindi la definizione non varrà per tutti gli n reali e non sarà ben posta:

    $$ per\>esempio\>(-1)^{\frac{1}{2}}=?$$

  • Se \(b<0\) allora deve accadere che \(a<0\), ma per quanto detto prima non può essere.

Tipologie di logaritmi

Ci sono due tipologie di logaritmi che si incontrano spesso nell’ambito della matematica:

  • Il logaritmo naturale, che è il logaritmo con base il numero di Nepero \(e\) e si indica con:

    $$ln(b)$$


    con b argomento del logaritmo.
    Da notare che \(e\) è un numero reale e vale all’incirca \(e=2,7\).
  • Il logaritmo decimale, oppure logaritmo in base 10, che si indica con la forma della definizione:

    $$\log_{10}{b}$$


    con b argomento del logaritmo.

    Esempi

  • Calcolare il numero \(\log_{17}{17}\).
    Dobbiamo quindi trovare \(n\) tale che:

    $$n=\log_{17}{17}\>cioè\>17^n=17$$


    è evidente che la \(n\) cercata è 1, quindi il risultato è:

    $$17^1=17\>quindi\>\log_{17}{17}=1$$

  • Calcolare il numero \(\log_{2}{32}\).
    L’esponente da dare a 2 per diventare 32 è 5, infatti:

    $$2^5=32\>quindi\>\log_{2}{32}=5$$

  • Calcolare il numero \(\ln{e^{\frac{3}{8}}}\).

L’esponente da dare a \(e\) per diventare \(e^{\frac{3}{8}}\) è \(\frac{3}{8}\):

$$ e^{\frac{3}{8}}= e^{\frac{3}{8}}\>quindi\>\ln{e^{\frac{3}{8}}}=\frac{3}{8}$$

  • Calcolare il numero \(\log_{\frac{3}{2}}{\frac{16}{81}}\).
    L’esponente da dare a \(\frac{3}{2}\) per diventare \(\frac{16}{81}\) è -4:

    $$(\frac{3}{2})^{-4}=\frac{16}{81}\>quindi\>\\log_{\frac{3}{2}}{\frac{16}{81}}=-4$$

  • Calcolare il numero \(\log_{\sqrt{3}}{3^{\frac{3}{4}}}\).
    L’esponente da dare a \( \sqrt{3} \) per diventare \(3^{\frac{3}{4}\) è \(\frac{3}{2}\):

    $$(\sqrt{3})^{\frac{3}{2}}=3^{ (\frac{1}{2}) (\frac{3}{2})}=3^{\frac{3}{4}} $$


    Quindi:

    $$\log_{\sqrt{3}}{3^{\frac{3}{4}}}=\frac{3}{2}$$