Per insieme R si intende l’insieme dei numeri reali, che nasce dall’insieme dei numeri razionali relativi Q e l’insieme dei numeri irrazionali I. Il simbolo che si utilizza per indicare l’insieme dei numeri reali è la R con la barra verticale raddoppiata. Quali elementi contiene l’insieme R e quali sono le sue proprietà? Andiamo a scoprirlo insieme.

Insieme R: proprietà e elementi

L’insieme R è composto da tutti i numeri positivi e negativi esistenti, compreso lo 0, con cui possiamo avere a che fare nella vita di tutti i giorni. L’insieme R contiene l’insieme Q, che a sua volta contiene l’insieme Z e che, ancora a sua volta, contiene l’insieme N. Anche l’insieme I dei numeri irrazionali risulta essere un sottoinsieme di R, quindi tutto questo significa che qualsiasi numero intero positivo, negativo o nullo, qualsiasi numero razionale e qualsiasi numero irrazionale fa parte dell’insieme R. Quali sono gli unici numeri che non appartengono all’insieme R? Le radici con indice pari dei numeri negativi. Passiamo ora alle proprietà dell’insieme R:

  • tutti gli elementi di R possono essere messi in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta chiamata retta reale;
  • dalla prima proprietà si evince che R è un insieme ordinato, ovvero dati due elementi di questo insieme è sempre possibile stabilire se il primo sia maggiore, minore o uguale al secondo;
  • l’insieme R è un insieme infinito, ovvero sono infiniti gli elementi che lo compongono;
  • addizione, sottrazione e moltiplicazione sono contenute all’interno dell’insieme R, ovvero somma algebrica e prodotto tra due numeri reali qualsiasi è ancora un numero reale. La divisione può risultare un’operazione interna se escludiamo lo 0 poiché la divisione per 0 non è definita come operazione;
  • l’estrazione di radice non è un’operazione interna all’insieme R. Se consideriamo un numero reale negativo la sua radice quadrata non esiste;
  • 0 è l’elemento neutro rispetto alla somma, 1 è l’elemento neutro rispetto al prodotto;
  • prodotto e somma tra numeri reali godono della proprietà commutativa e della proprietà associativa. Vale inoltre la proprietà del prodotto rispetto alla somma.