Il teorema fondamentale del calcolo integrale è un teorema molto articolato, che di solito viene diviso in due parti:
una prima parte, detta primo teorema fondamentale del calcolo integrale, che ci garantisce l’esistenza della primitiva per le funzioni continue e una seconda parte, detta secondo teorema fondamentale del calcolo integrale, che ci consente il calcolo effettivo dell’integrale definito di una funzione attraverso una delle sue primitive.
Prima di enunciare e dimostrare questo teorema di vitale importanza, enunciamo e dimostriamo il teorema della media integrale poiché ci servirà nella dimostrazione di quest’ultimo.
Teorema della media integrale
Sia \(f \colon [a,b] \to \mathbb{R}\) una funzione continua (le funzioni continue sono integrabili!) allora esiste un punto \(\xi\) in \([a,b]\) tale che
$$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)\, dt= f(\xi)$$
Dimostrazione
Poiché \(f\) è continua nell’intervallo chiuso e limitato \([a,b]\), per il teorema di Weierstrass essa assume massimo \(M\) e minimo \(m\) nell’intervallo. Quindi scritto in formule:
$$ m \le f(x) \le M $$
per ogni \(x\) nell’intervallo \([a,b]\).
Ora vale il seguente teorema:
- Teorema (monotonia dell’integrale)
Se \(f\) e \(g\) sono due funzioni integrabili nell’intervallo \([a,b]\) e se vale \(f(x) \le g(x) \) per ogni \(x\) in \([a,b]\) allora
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx \le \int_{a}^{b} g(x)\, dx$$
Quindi, poichè le disuguaglianze introdotte su \(f(x)\) valgono per ogni \(x\) in \([a,b]\), vale
$$\int_{a}^{b} m\, dx \le \int_{a}^{b} f(x)\, dx \le \int_{a}^{b} M\, dx $$
\(m\) e \(M\) sono delle costanti e i rispettivi integrali fanno \([mx]|_{a}^{b}= m(b-a) \) e \([Mx]|_{a}^{b}= M(b-a) \)…
$$ m(b-a) \le \int_{a}^{b} f(x)\, dx \le M(b-a) $$
dividendo per \((b-a)\) (che è diverso da \(0\) ) abbiamo:
$$ m \le \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx \le M $$
Ora \(\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b} f(x)\, dx \) è compreso tra i valori \(m\) e \(M\) e la funzione \(f\), essendo continua in \([a,b]\), assume tutti i valori compresi tra il minimo \(m\) e il massimo \(M\)(teorema dei valori intermedi). Perciò esiste \(\xi\) in \([a,b]\) tale che
$$\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(t)\, dt= f(\xi)$$
Questo conclude la dimostrazione.
Teorema fondamentale del calcolo integrale (prima parte)
Sia \(f\) una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\). La sua corrispondente funzione integrale, definita così
$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt$$
è derivabile in ogni punto in cui \(f(x)\) è continua e risulta che \(F’(x)= f(x)\).
Dimostrazione
Prendiamo un punto \(x_0\) nell’intervallo \([a,b]\) e consideriamo \(h>0\) una quantità infinitesima e positiva tale che \(x_0+h\) stia ancora in \([a,b]\). Consideriamo le funzioni integrali:
$$F(x_0)=\int_{a}^{x_0} f(t)\, dt$$
$$F(x_0+h)=\int_{a}^{x_0+h} f(t)\, dt$$
Osserviamo che possiamo riscrivere
$$F(x_0+h)=\int_{a}^{x_0} f(t)\, dt+\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\, dt $$
per le proprietà degli integrali definiti. Quindi otteniamo che
$$F(x_0+h)- F(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\, dt $$
Poiché \(f\) è continua in \([a,b]\) e quindi anche nel sottointervallo \([x_0,x_0+h]\), per il teorema della media integrale esiste \( \xi \) in \([x_0,x_0+h]\) tale che
$$ F(x_0+h)- F(x_0)=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\, dt = f(\xi) (x_0+h-x_0)= f(\xi) (h)$$
Ne segue che
$$ \frac{F(x_0+h)- F(x_0)}{h}= f(\xi)$$
E passando al limite, ambo i membri, per \(h\) che tende a \(0\)
$$ \lim_{h \to 0} \frac{F(x_0+h)- F(x_0)}{h}= \lim_{h \to 0}f(\xi)$$
cioè
$$F’(x_0) = f(\xi)$$
Siccome
$$x_0 < \xi < x_0+h$$
Passando sempre al limite per \(h\) che tende a \(0\)
$$\lim_{h \to 0} x_0 < \lim_{h \to 0} \xi < \lim_{h \to 0} x_0+h$$
$$ x_0 < \lim_{h \to 0} \xi < x_0$$
per il teorema dei due carabinieri
$$\lim_{h \to 0} \xi=x_0$$
da cui
$$\lim_{h \to 0} f(\xi)=f(\lim_{h \to 0} \xi)= f(x_0)$$
quindi \(F’(x_0) = f(x_0)\) e vale per ogni \(x_0\) nell’intervallo.
Teorema fondamentale del calcolo integrale (seconda parte)
Sia \(f\) una funzione continua nell’intervallo \([a,b]\) che ammette una primitiva \(G\) nell’intervallo allora vale la seguente formula:
$$\int_{a}^{b} f(x)\, dx=G(b) -G(a) $$
Dimostrazione
Come per il primo teorema abbiamo la funzione integrale:
$$F(x)=\int_{a}^{x} f(t)\, dt$$
che soddisfa le seguenti relazioni:
$$F(b)=\int_{a}^{b} f(t)\, dt \quad F(a)=\int_{a}^{a} f(t)\, dt=0 $$
quindi possiamo scrivere
$$F(b)- F(a)=\int_{a}^{b} f(t)\, dt$$
Ora \(G\) è una primitiva di \(f\), ciò vuol dire che per definizione di primitiva \(G’=f\) e
$$F(x)=\int_{a}^{x} G’(t)\, dt$$
e per la prima parte del teorema vale
$$F’(x)= G’(x) \Rightarrow F’(x)-G’(x)=0 \Rightarrow (F(x)-G(x))’=0$$
l’ultima relazione ci dice che \(F(x)-G(x)\) è costante, quindi è uguale ad una certa costante reale \(c\)
$$F(x)-G(x)=c \Rightarrow F(x)=G(x)+c $$
Concludendo
$$\int_{a}^{b} f(t)\, dt= F(b)- F(a)= G(b)+c - G(a)-c= G(b) - G(a)$$