Come il teorema di Rolle e il teorema di Lagrange, il teorema di Cauchy ci fornisce informazioni su una funzione continua e derivabile in un intervallo: esso è una generalizzazione del teorema di Lagrange.

Per dimostrarlo useremo il teorema di Rolle, quindi, come per il teorema di Lagrange, bisogna aver chiaro l’enunciato. Passiamo ad enunciare e dimostrare il teorema.

Teorema di Cauchy

Consideriamo due funzioni \(f(x)\) e \(g(x)\) entrambe definite in un intervallo chiuso \([a,b]\) che soddisfano le seguenti ipotesi:

  • \(f(x)\) e \(g(x)\) sono continue in \([a,b]\);
  • \(f(x)\) e \(g(x)\) sono derivabili in \((a,b)\);
  • \(g’(x)\) non si annulla mai in \((a,b)\), cioè \(g’(x)\neq 0\) per ogni \(x\) in \((a,b)\);

allora esiste almeno un punto \(c\) all’interno di \([a,b]\) tale che:

$$\frac{f(b)- f(a)}{ g(b)- g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$$

Dimostrazione

Osserviamo, prima di tutto, che sicuramente \( g(b)\neq g(a)\), altrimenti per il teorema di Rolle esisterebbe un punto \(x_0\) interno ad \([a,b]\) tale che \(g’(x_0)=0\) e questo contraddirebbe la terza ipotesi del teorema. Quindi lo \(0\) non compare mai al denominatore e l’equazione \(\frac{f(b)- f(a)}{ g(b)- g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}\) è ben posta.
Detto questo, vogliamo sfruttare il teorema di Rolle per dimostrare l’enunciato… come facciamo? Definiamo una funzione ausiliaria come abbiamo fatto per il teorema di Lagrange:

$$h(x)=[f(b)- f(a)] g(x)- [g(b)- g(a)] f(x)$$


Ora:

  • \(h\) è continua in \([a,b]\) poiché e somma delle funzioni \(f\) e \(g\), che sono continue in \([a,b]\) per ipotesi.
  • \(h\) è derivabile in \((a,b)\) poiché e somma delle funzioni \(f\) e \(g\), che sono derivabili in \((a,b)\) per ipotesi.

Inoltre si ha:

$$h(a)=[f(b)- f(a)] g(a)- [g(b)- g(a)] f(a)=f(b)g(a)- g(b)f(a)$$


$$h(b)=[f(b)- f(a)] g(b)- [g(b)- g(a)] f(b)= f(b)g(a)- g(b)f(a)$$


da cui \(h(a)= h(b)\). La funzione soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle: esiste, quindi, un punto \(c\) in \([a,b]\) tale che \(h’(c)=0\). Calcolando la derivata della funzione \(h\) nel punto \(c\) otteniamo

$$0=h’(c)=[f(b)- f(a)] g’(c)- [g(b)- g(a)] f’(c)$$


$$[f(b)- f(a)] g’(c)- [g(b)- g(a)] f’(c)=0$$


$$[f(b)- f(a)] g’(c)=[g(b)- g(a)] f’(c)$$


$$\frac{f(b)- f(a)}{ g(b)- g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$$


e questo conclude la dimostrazione del teorema.

Osservazione: dimostrazione del teorema di Lagrange

Avendo ottenuto questo risultato, possiamo dimostrare il teorema di Lagrange facilmente! Passiamo subito alla dimostrazione del teorema tralasciando l’enunciato (vedere la lezione sul teorema di Lagrange!).

Dimostrazione:
Consideriamo la funzione \(g(x)=x\). Questa funzione è continua in \([a,b]\), derivabile in \((a,b)\) e \(g’(x)=1\) per ogni \(x\) in \((a,b)\) (non si annulla mai).
Ora \(f(x)\) e \(g(x)\) soddisfano le ipotesi del teorema di Cauchy, quindi esiste almeno un punto \(c\) all’interno di \([a,b]\) tale che:

$$\frac{f(b)- f(a)}{ g(b)- g(a)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$$


Ma abbiamo posto \(g(x)=x\), allora vale

$$\frac{f(b)- f(a)}{b- a}=\frac{f’(c)}{1}= f’(c)$$


e questo ci da la tesi del teorema di Lagrange.

Da questa dimostrazione possiamo notare, come dicevamo all’inizio, che il teorema di Lagrange è un caso particolare del teorema di Cauchy.

Esempio

Siano \(f(x)=x^3+3\) e \(g(x)=2x^2\) due funzioni. È possibile applicare il teorema di Cauchy nell’intervallo \([1,2]\)? Se si calcolare \(c\).

Svolgimento:

  • \(f(x)=x^3\) e \(g(x)=x^2\) sono continue in \([1,2]\) e derivabili in \((1,2)\), con derivate uguali a: \(f’(x)=3x^2\) e \(g’(x)=2x\)
  • \(g’(x)=2x\) non è mai nulla in \([1,2]\).

Si può applicare il teorema di Cauchy! Quindi esiste \(c\) tale che:

$$\frac{f(2)- f(1)}{ g(2)- g(1)}=\frac{f’(c)}{g’(c)}$$


$$\frac{(2)^3- (1)^3}{ (2)^2- (1)^2}=\frac{3(c)^2}{2c}$$


$$\frac{8-1}{ 4- 1}=\frac{3(c)^2}{2c}$$


risolvendo l’equazione in \(c\) otteniamo \(c=\frac{14}{ 9}\).