Abbiamo già visto l’importanza dell’insieme dei numeri reali e perché li abbiamo introdotti: poiché vale l’assioma di continuità, è un insieme che “non presenta buchi” e ci permette, per esempio, di disegnare il grafico di una funzione. Dotato delle operazioni di somma e prodotto, ricordiamo inoltre che questo forma un campo. Insomma è un insieme che ci permette di fare molte cose, ma ha un piccolo problema… se consideriamo per esempio l’equazione:
$$x^2+1=0$$
non riusciamo a trovare una soluzione reale, infatti non si può fare la radice di un numero negativo!
$$x^2=-1\quad problema!!!$$
Con i numeri reali non tutte le equazione di secondo grado hanno soluzioni, perciò abbiamo la necessità di estendere questo insieme ad uno più grande dove è possibile trovare soluzioni di equazioni come quella dell’esempio: qui entrano in scena i numeri complessi.
Definizione
L’insieme dei numeri complessi è indicato con la lettera \(\mathbb{C}\) ed è formato da elementi \(z\) del tipo
$$z=a+ib$$
dove \(a\) e \(b\) sono numeri reali.
La lettera \(i\) è quella che chiamiamo unità immaginaria ed è la particolarità di questo nuovo insieme di numeri. Ripensando all’esempio di prima
$$x^2=-1 \to x=\pm \sqrt{-1}$$
Poichè \(\sqrt{-1}\) non esiste nei numeri reali (radice di un numero negativo!!!), li ampliamo aggiungendo anche le radici di numeri negativi e da qui viene la nostra unità immaginaria \(i\) nei numeri complessi. Definiamo, quindi, \(i\) come
$$i=\sqrt{-1} \to i^2=-1$$
Con l’aggiunta di questa posso rappresentare tutte le radici negative, per esempio
$$\sqrt{-4}=\sqrt{4}\cdot \sqrt{-1}=2i$$
I numeri complessi possono essere scritti in forme diverse, in particolare questa, che abbiamo dato come definizione, si dice forma algebrica di un numero complesso.
Notazioni sui numeri complessi
Andiamo a vedere alcune notazioni che si usano. Sia
$$z=a+ib$$
un numero complesso qualunque, sempre con \(a\) e \(b\) numeri reali. Si dice:
- Parte reale del numero complesso e si indica con \(Re(z)\), il numero reale \(a\) poichè, a questo numero, non vi è associata l’unità immaginaria;
- Parte immaginaria del numero complesso e si indica con \(Imm(z)\), il numero reale \(b\) a cui è associata l’unità immaginaria;
Inoltre, due importanti sottoinsiemi di questo insieme di numeri sono:
- i numeri reali, che sono quei numeri complessi \(z\) che hanno parte immaginaria nulla, cioè in cui \(b=0\);
- i numeri immaginari puri, che sono quei numeri complessi \(z\) che hanno parte reale nulla, cioè \(a=0\);
Il campo dei numeri complessi
Per dire che i numeri complessi formano un campo, bisogna definire le operazioni di somma e prodotto su questo insieme. Senza lunghi giri di parole non sono altro che la solita somma e prodotto che conosciamo, ricordandoci però la regola sulle unità immaginarie \(i^2=-1\) per il prodotto. Ricapitolando siano
$$z_1=a+ib \quad z_2=c+id$$
due numeri complessi allora
- la somma è definita come
$$z_1+z_2=(a+ib)+(c+id)= (a+c)+i(b+d)$$
- il prodotto come
$$z_1\cdot z_2=(a+ib)\cdot (c+id)= ac+iad+ibc+i^2bd=$$
$$= ac+iad+ibc-bd= (ac-bd)+i(ad+bc)$$
Ora per la somma di numeri complessi:
- vale la proprietà associativa e la proprietà commutativa;
- esiste un elemento neutro che è uguale, come per i numeri reali, a \(0\);
- esiste un elemento opposto di \(z=a+ib\), che è uguale a \(z=-a-ib\);
Per il prodotto di numeri complessi:
- vale la proprietà associativa, la proprietà commutativa e la proprietà distributiva;
- esiste un elemento neutro uguale a \(1\), come nei reali;
- esiste un elemento inverso di \(z=a+ib\) uguale a \(z=\frac{a-ib}{a^2+b^2}\);
siccome valgono queste proprietà per la somma e il prodotto nei numeri complessi, essi formano un campo detto campo dei numeri complessi.
Osservazione: ulteriori notazioni sui numeri complessi
- Si dice coniugato di un numero complesso \(z=a+ib\) e si indica con \(\bar{z}\) il numero:
$$\bar{z}=a-ib$$
- Si dice modulo di un numero complesso \(z=a+ib\) e si indica con \(|z|\) il numero:
$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$