Formule trigonometriche: quali sono e come si applicano

È molto importante in matematica saper fare le operazioni con le funzioni trigonometriche: di seguito andiamo ad evidenziare le formule trigonometriche fondamentali, usate per fare i conti con queste funzioni…

Prima relazione fondamentale della trigonometria

Segue immediatamente dalla definizione di seno e coseno di un angolo \(\alpha\). Dato, quindi, un angolo \(\alpha\) abbiamo

$$sen^2(\alpha)+cos^2(\alpha)=1$$

• \(sen(\alpha)=\pm \sqrt{1-cos^2(\alpha)}\)
• \(cos(\alpha)=\pm \sqrt{1-sin^2(\alpha)}\)

Seconda relazione fondamentale della trigonometria

Ci dice, in pratica, come è definita la funzione trigonometrica \(tg(\alpha)\). Abbiamo in questo caso

$$ tg(\alpha)=\frac{sen(\alpha)}{cos(\alpha)}$$

• \( cos^2(\alpha)= \frac{1}{1+tg^2(\alpha)}\), con cui, facendo la radice quadrata ambo i membri e aggiungendo,quindi, un più o meno a secondo membro (RICORDA come si comportano le radici quadrate), si ricava la formula del coseno.

Osservazione
Valgono anche le seguenti formule:

• $$cotg(\alpha)= \frac{ cos(\alpha)}{ sin(\alpha)}$$

  
  per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k\) un numero intero.

• $$ sec(\alpha)= \frac{ 1}{ cos(\alpha)}$$

  
  per \(\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi\) con \(k\) un numero intero.

• $$ cosec(\alpha)= \frac{ 1}{ sen(\alpha)}$$

  
  per \(\alpha \neq k\pi\) con \(k\) un numero intero.

Formule di somma e sottrazione

Queste formule ci permettono di spezzare la somma di due angoli di una funzione trigonometrica con una combinazione di funzioni trigonometriche che hanno un solo angolo tra parentesi, cioè

$$sen(\alpha + \beta)=sen(\alpha)cos(\beta)+cos(\alpha)sin(\beta)$$

$$sen(\alpha - \beta)=sen(\alpha)cos(\beta)-cos(\alpha)sin(\beta)$$

$$cos(\alpha + \beta)=cos(\alpha)cos(\beta)-sen(\alpha)sin(\beta)$$

$$cos(\alpha - \beta)=cos(\alpha)cos(\beta)+sen(\alpha)sin(\beta)$$

$$tg(\alpha + \beta)= \frac{tg(\alpha)+tg( \beta)} {1- tg(\alpha)tg( \beta)}\quad con\>\alpha+\beta\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$

$$tg(\alpha - \beta)= \frac{tg(\alpha)-tg( \beta)} {1+ tg(\alpha)tg( \beta)} \quad con\>\alpha-\beta\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$

Osservazione
Dalle formule della tangente si possono ricavare le formule della cotangente, scrivendo quest’ultima come:

$$cotg(\alpha + \beta)=\frac{1}{ tg(\alpha + \beta)}$$

Osservazione
Conoscendo le formule di addizione e sottrazione posso ricavarmi anche formule del tipo

$$cos(\pi+\alpha)=cos(\pi)cos(\alpha)-sen(\pi)sin(\alpha)= -cos(\alpha)$$

Formule di duplicazione

Ci consentono di scomporre la funzione trigonometrica del doppio di un angolo:

$$sen(2\alpha)=2sen(\alpha)cos(\alpha)$$

$$cos(2\alpha)=cos^2(\alpha)-sen^2(\alpha)$$

$$tg(2\alpha)=\frac{2tg(\alpha)}{1-tg^2(\alpha)}\quad con\>\alpha\neq \frac{\pi}{4}+\frac{k\pi}{2}\>e\>\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$

Formule parametriche

Permettono di esprimere le funzioni trigonometriche tramite una funzione polinomiale. Sono molto usate nel calcolo di integrali di funzioni trigonometriche particolari.

$$sen(\alpha)=\frac{2x}{1+x^2}\quad con\>x=tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)\>e\>\alpha\neq \pi+2k\pi,\>k\>intero$$

$$cos(\alpha)=\frac{1-x^2}{1+x^2}\quad con\>x=tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)\>e\>\alpha\neq \pi+2k\pi,\>k\>intero$$

$$tg(\alpha)=\frac{2x}{1-x^2}\quad con\>x=tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl),\>\alpha\neq \pi +2k\pi\>e\>\alpha\neq \frac{\pi}{2}+k\pi,\>k\>intero$$

Formule di bisezione

Le usiamo per scomporre la funzione trigonometrica della metà di un angolo:

$$sen\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)=\pm\sqrt{\frac{1- cos(\alpha)}{2}}$$

$$cos\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)=\pm\sqrt{\frac{1+cos(\alpha)}{2}}$$

$$tg\biggl(\frac{\alpha}{2}\biggl)=\pm\sqrt{\frac{1-cos(\alpha)}{ 1+cos(\alpha)}}\quad con\>\alpha\neq\pi +2k\pi,\>k\>intero$$

Formule di prostaferesi

Con queste possiamo scrivere le somme o le differenze di seni o coseni applicati su due angoli differenti come il prodotto di seno per coseno:

$$sen(\alpha)+ sen(\beta)=2sen\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)cos\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$

$$sen(\alpha)- sen(\beta)=2cos\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)sen\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$

$$cos(\alpha)+cos(\beta)=2cos\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)cos\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$

$$cos(\alpha)- cos(\beta)=-2sen\biggl(\frac{\alpha + \beta}{2}\biggl)sen\biggl(\frac{\alpha - \beta}{2}\biggl)$$

Formule di Werner

Infine, con le formule di Werner, siamo in grado di riscrivere il prodotto di seni e coseni, applicati su due angoli differenti, nel seguente modo

$$ sen(\alpha) sen(\beta)=\frac{1}{2}[ cos(\alpha-\beta) -cos(\alpha +\beta)]$$

$$cos(\alpha) cos(\beta)=\frac{1}{2}[ cos(\alpha-\beta) +cos(\alpha +\beta)]$$

$$sen(\alpha) cos(\beta)=\frac{1}{2}[ sen(\alpha-\beta) +sen(\alpha +\beta)]$$