Una delle caratteristiche dei numeri complessi è che possiamo esprimerli in diverse forme, a seconda di quale ci viene più comodo usare. Oltre alla consueta forma algebrica di un numero complesso, si può dedurre la forma trigonometrica o anche detta forma polare di un numero complesso: infatti si può pensare un numero complesso come se fosse su una circonferenza con un certo raggio \(r\) di centro l’origine degli assi del piano complesso, chiamato anche piano di Argand-Gauss. Andiamo a definire questa forma e a dire come si può passare dalla forma algebrica alla forma trigonometrica.
Forma trigonometrica di un numero complesso
Come già anticipato possiamo pensare un numero complesso come se fosse su una circonferenza con centro l’origine del piano complesso, quindi ci basterebbe scoprire solo la distanza \(r\) del punto \(z\) preso in considerazione dall’origine del piano complesso, cioè il raggio della circonferenza, su cui esso giace e l’angolo \(\theta\) che questo raggio forma con l’asse reale. Si può, infine, esprimere il numero complesso in funzione di \(r\) e \(\theta\)
$$z=r(cos(\theta) + isen(\theta))$$
dove \(r\), essendo un raggio (oppure volendo una distanza), è un numero reale maggiore o uguale a zero
$$r\ge 0$$
e \(\theta\) è un angolo compreso tra \(0\) e \(2\pi\)
$$0\le \theta< 2\pi $$
Questa è detta forma trigonometrica di un numero complesso.
Ricavare la forma trigonometrica dalla forma algebrica del numero complesso
Nella lezione del campo dei numeri complessi abbiamo definito un numero complesso \(z\) con la sua forma algebrica
$$z=a+ib$$
con \(a\) e \(b\) numeri reali.
Questo mi definisce il punto \((a,b)\) nel piano complesso, con \(a\) coordinata associata all’asse reale (sarebbe l’asse delle ascisse) e \(b\) coordinata associata all’asse immaginario (l’asse delle ordinate). Ora non ci resta che trovare la distanza di \((a,b)\) dall’origine \((0,0)\) per calcolare il raggio della circonferenza. Facendo i conti abbiamo
$$r=\sqrt{a^2+b^2}$$
che non è altro che il modulo di un numero complesso! Quindi per trovare il raggio non dobbiamo fare altro che applicare la formula del modulo.
Ora, conoscendo il raggio \(r\), il calcolo dell’angolo \(\theta\) è facile se consideriamo singolarmente la parte reale e la parte immaginaria del numero complesso in ambo le forme:
$$a=r cos(\theta) \quad b= r sen(\theta) $$
da qui
$$cos(\theta)=\frac{a}{r} \quad sen(\theta)=\frac{b}{r} $$
Possiamo assumere \(r \neq 0\), poiché se \(r\) fosse \(0\) la forma algebrica e la forma trigonometrica sono identiche e non ci sarebbe nulla da calcolare. Facendo le inverse delle funzioni trigonometriche
$$\theta=arccos\biggl(\frac{a}{r}\biggl) \quad \theta=arcsen\biggl(\frac{b}{r}\biggl) $$
Ora non ci resta che risolvere
$$\begin{cases} \theta=arccos(\frac{a}{r}) \\ \theta=arcsen(\frac{b}{r}) \end{cases}$$
e avremo l’angolo cercato e quindi la forma trigonometrica.
Osservazione
Fare il passaggio da forma trigonometrica a forma algebrica è semplicissimo! Infatti, poiché \(r\) e \(\theta\) sono noti, basta solamente risolvere singolarmente:
$$a=r cos(\theta) \quad b= r sen(\theta) $$
trovando i valori numerici di seno e coseno.
Esempio numerico
Il numero complesso espresso in forma algebrica
$$z=1+i$$
si può anche esprimere nella forma trigonometrica
$$z=\sqrt{2}\biggl(cos\biggl(\frac{\pi}{4}\biggl) + isen\biggl(\frac{\pi}{4}\biggl)\biggl)$$
(Si fanno gli stessi conti che abbiamo fatto in generale per verificarlo!)