Nelle scorse lezioni abbiamo introdotto la nozione di polinomio, con tutte le operazioni a essi associate (somma, differenza, prodotto di un monomio per un polinomio….). Scostiamoci, però, un po’ dalla teoria e concentriamoci sugli esercizi! Presentiamo qui di seguito una lista di esercizi svolti per fissare meglio i concetti finora acquisiti.
Esercizio 1
Ridurre il seguente polinomio in forma normale
$$(4xy+z)(x+y^2)-3xy^3+x(x-z)+7x^2y $$
Svolgimento:
Per ridurre in forma normale il polinomio bisogna svolgere le operazioni, ove è possibile, che compaiono in esso. Si segue lo stesso ordine di priorità nelle operazioni che avevamo per le espressioni algebriche. Nel nostro caso andiamo a svolgere prima le moltiplicazioni: la prima che troviamo è un prodotto tra due polinomi e la seconda è il prodotto di un monomio per un polinomio. Svolgendo i calcoli abbiamo il seguente polinomio
$$4x^2y+4xy^3+xz+y^2z-3xy^3+x^2-xz+7x^2y$$
Ora il nostro problema si riduce a svolgere le somme e le differenze tra i monomi di cui il polinomio è composto. Ci domandiamo, quindi, se ci sono monomi simili nel polinomio. I monomi:
- \(+4x^2y\) e \(+7x^2y \) sono simili. Possiamo svolgere allora la somma tra i due monomi:
$$4x^2y+7x^2y=11x^2y $$
- \(+4xy^3\) e \(-3xy^3 \) sono simili. Allora:
$$4xy^3-3xy^3 =xy^3 $$
- \(+xz \) e \(-xz \) sono simili. Allora:
$$ xz-xz=0 $$
Tenendo conto delle somme e delle differenze appena svolte, avremo il polinomio
$$11x^2y+xy^3+y^2z+x^2$$
Siccome non possiamo ridurlo di più, abbiamo trovato, così facendo, la forma normale del polinomio iniziale.
Esercizio 2
Calcolare il grado complessivo e il grado rispetto alle lettere del seguente polinomio
$$5xyz-3xz^2-x^3y+4y$$
Svolgimento:
Sappiamo che il grado complessivo di un polinomio è il grado massimo dei monomi che lo compongono. Andiamo, perciò, a calcolarci i gradi dei singoli monomi da cui è composto. Ricordiamo che il grado di un monomio è la somma degli esponenti di tutte le lettere di cui il monomio è composto. In definitiva abbiamo:
- il grado di \(5xyz \) è uguale a \(3 (1+1+1)\);
- il grado di \(-3xz^2\) è uguale a \(3 (1+2)\);
- il grado di \(-x^3y \) è uguale a \(4 (3+1)\);
- il grado di \(4y \) è uguale a \(1\);
Possiamo concludere che il grado complessivo del polinomio è uguale a \(4\).
Per determinare il grado del polinomio rispetto a una lettera dobbiamo prima calcolare i gradi dei monomi rispetto alla lettera cui vogliamo calcolare il grado e poi prendere, come già fatto per il grado complessivo, quello massimo. Per la lettera \(x\) abbiamo che
- il grado di \(5xyz \) rispetto alla lettera \(x\) è uguale a \(1\);
- il grado di \(-3xz^2\) rispetto a \(x\) è uguale a \(1\);
- il grado di \(-x^3y \) rispetto a \(x\) è uguale a \(3\);
- il grado di \(4y \) rispetto a \(x\) è uguale a \(0\);
In definitiva abbiamo che il grado del polinomio rispetto alla lettera \(x\) è uguale a \(3\), massimo grado della \(x\) raggiunto nei monomi.
Con simili considerazioni possiamo dire che il grado rispetto a \(y\) è uguale a \(1\) e il grado rispetto a \(z\) è uguale a \(2\).
Esercizio 3
Ridurre in forma normale la seguente espressione polinomiale
$$(ab+c)^2+(a+c)(a-c)+(c+3)^3-a^2-27$$
Svolgimento:
Come per il primo esercizio, bisogna svolgere le operazioni che compaiono nel polinomio: questa volta si comincia con le potenze! Notiamo che l’espressione:
- \((ab+c)^2\) è un quadrato di binomio. Svolgendolo abbiamo:
$$(ab+c)^2= a^2b^2+c^2+2abc $$
- \((c+3)^3\) è un cubo di binomio:
$$(c+3)^3= c^3+9c^2+27c+27$$
Il polinomio si riduce a
$$a^2b^2+c^2+2abc+(a+c)(a-c)+c^3+9c^2+27c+27-a^2-27$$
Procedendo in ordine, ora dobbiamo fare le moltiplicazioni… notiamo che l’unica moltiplicazione che abbiamo è un prodotto notevole che da come risultato
$$(a+c)(a-c)=a^2-c^2$$
per cui il polinomio diventa
$$a^2b^2+c^2+2abc+ a^2-c^2+c^3+9c^2+27c+27-a^2-27$$
Ora, facendo le somme e le differenze tra i monomi simili come nell’esercizio 1, otteniamo la riduzione in forma normale del polinomio iniziale:
$$a^2b^2+2abc+c^3+9c^2+27c$$