Le equazioni parametriche sono equazioni lineari in cui oltre all’incognita, compare uno o più parametri letterali che, al loro variare, ci danno un’infinità di soluzioni dell’equazione ove, ovviamente, sono ammesse. Prima di spiegare che cos’è questo parametro letterale e di fare degli esempi a riguardo, precisiamo che ci concentreremo sulle equazioni parametriche di primo grado e sulle equazioni parametriche di secondo grado.

Equazioni parametriche di primo grado

Sono equazioni lineari di primo grado dove per coefficienti, oltre ad eventuali coefficienti numerici, abbiamo dei parametri letterali. Questi parametri hanno un significato particolare, infatti al loro variare descrivono una famiglia di equazioni lineari. Sono equazioni parametriche di primo grado le seguenti equazioni:

$$kx+3=0;\quad 3x-4k=0; \quad kx-m=0$$


nell’incognita \(x\) e nei parametri reali \(k\) e \(m\).
Come potete notare, per richiamare i parametri abbiamo specificato che tipo di numeri rappresentano nell’equazione: nel nostro caso sono numeri reali, quindi, al loro variare nei numeri reali, ci danno, come dicevamo, una famiglia di equazioni.
Molte volte ci si può confondere tra l’incognita e il parametro di un equazione, facciamo allora una distinzione tra i due:

  • l’incognita si trova risolvendo la nostra equazione lineare, quindi è il valore che rende vera l’uguaglianza dell’equazione e che noi dobbiamo trovare.
  • il parametro letterale è un qualsiasi numero (di solito è specificato a che famiglia di numeri appartiene), per cui l’equazione abbia senso, tale da dare un’equazione diversa al suo variare nella famiglia di numeri a cui appartiene. Infatti, ogni volta che fissiamo il parametro, non abbiamo più un’equazione parametrica ma una normale equazione di primo grado.

Una parte fondamentale nella risoluzione di queste equazioni è l’analisi sui valori dei parametri, perché non tutti i parametri mi danno un’equazione che ha senso: potremmo trovare un’identità o un’equazione impossibile, per determinati valori. Riassumendo, per risolvere un equazione parametrica di primo grado bisogna

  • Isolare l’incognita dell’equazione, per avere da una parte la sola incognita e dall’altra tutti i coefficienti e i parametri letterali;
  • Discutere le soluzioni dell’equazione al variare dei parametri e specificare, soprattutto, quando questa è determinata, impossibile o identità.

Svolgiamo le equazioni presentate negli esempi per fissare il concetto:

Esempio 1

$$kx+3=0$$


Procediamo con l’isolare la lettera \(x\)

$$x=-\frac{3}{k}$$


Notiamo che per \(k=0\) l’equazione è impossibile poiché avremo

$$x=-\frac{3}{0}$$


e la divisione per \(0\) non ha senso.
Mentre tutti gli altri valori di \(k\) mi rendono l’equazione determinata con soluzione

$$x=-\frac{3}{k}$$


Riassumendo l’equazione sarà

$$\begin{cases} Impossibile\quad se\>k=0\\ x=-\frac{3}{k}\quad se\>k\neq 0 \end{cases}$$

Esempio 2

$$3x-4k=0$$


Isoliamo la lettera \(x\)

$$x=\frac{4k}{3}$$


Questa volta l’equazione è determinata per ogni valore di \(k\) reale, poiché non può mai essere impossibile o un’identità.

Esempio 3

$$kx-m=0$$


Come al solito isoliamo la \(x\)

$$x=\frac{m}{k}$$


Ora abbiamo da analizzare due parametri reali!
La prima cosa che si vede è che se fissiamo \(k=0\) e \(m=0\), avremo un equazione del tipo

$$x=\frac{0}{0}$$


Quindi l’equazione sarà un’identità!
Invece se la lettera \(m\neq 0\) e fissiamo \(k=0\) siamo nel caso in cui l’equazione

$$x=\frac{m}{0}$$


è impossibile!
Un ultimo caso è quello in cui abbiamo \(m\neq 0\) e \(k\neq 0\)

$$x=\frac{m}{k}$$


dove l’equazione è determinata. Riassumendo:

$$\begin{cases} Identità\quad se\>m= 0\>e\>k=0\\ Impossibile\quad se\>m\neq 0\>e\>k=0\\ x=-\frac{3}{k}\quad se\>m\neq 0\>e\>k\neq 0 \end{cases}$$

Equazioni parametriche di secondo grado

Sono equazioni lineari di secondo grado dove per coefficienti, oltre ad eventuali coefficienti numerici, abbiamo dei parametri letterali. Valgono gli stessi discorsi sui parametri già affrontati nel caso delle equazioni di primo grado, solo che per quelle di secondo grado le cose diventano un po’ più complicate. Infatti, per esempio, se ci ritroviamo equazioni come

$$kx^2+x+1=0$$


per \(k=0\) l’equazione si abbassa di grado e diventa un equazione lineare di primo grado, mentre per gli altri \(k\) rimane un equazione di secondo grado. Mentre se prendiamo l’equazione

$$x^2+kx+1=0$$


al variare di \(k\) il delta dell’equazione cambia e perciò possiamo avere o due soluzioni reali e distinte, o due soluzioni reali e coincidenti oppure nessuna soluzione reale.
Oltre a questa casistica, come nel caso delle equazioni di primo grado, potremmo trovare anche equazioni impossibili e identità.
Come abbiamo appena visto ci sono molte più cose da verificare, ma basta comprendere la logica che ci sta sotto a queste, fare attenzione ai conti e il gioco e fatto!
Diamo delle linee guida alla risoluzione di un’equazione parametrica di secondo grado, indicando i passi da fare. Per farlo, prendiamo come spunto l’equazione scritta in forma normale

$$ax^2+bx+c=0$$

Osservazione
Non a caso prendiamo un’equazione già ridotta in forma normale! Infatti, come detto nell’articolo della risoluzione di un equazione di secondo grado, bisogna, anche qui, riportarsi nella forma normale prima di iniziare qualunque discorso.

  • Come primo passo dobbiamo stabilire se esistono dei valori dei parametri per cui l’equazione di secondo grado perde di significato, quindi è impossibile o è un’identità. Nel nostro caso se:
    - \(a=0\), \(b=0\) e \(c=0\) l’equazione diventa un’identità;
    - \(a=0\), \(b=0\) e \(c\neq 0\) l’equazione è impossibile;
  • Poi dobbiamo osservare quando l’equazione si abbassa di grado, quindi analizzare il termine di secondo grado dell’equazione:
    - Se il coefficiente di secondo grado non è un parametro letterale non c’è nulla da studiare, infatti resterà (a meno che non sia \(0\)) di secondo grado;
    - Se il coefficiente di secondo grado è un parametro bisogna studiare l’annullamento: per i valori per cui si annulla dobbiamo svolgere a parte l’equazione di primo grado ad essi associata, mentre per i valori per cui non si annulla dobbiamo fare altri passi.
    Nel nostro caso se \(a=0\) dobbiamo studiare al variare dei parametri l’equazione

    $$bx+c=0$$


    Altrimenti continuiamo lo studio…
  • Studiare il delta dell’equazione al variare dei parametri, cioè vedere quando esso è maggiore di \(0\), uguale a \(0\) o minore di \(0\). Avremo, quindi, da imporre delle disequazioni con i nostri parametri! Nel nostro caso avremo

    $$\Delta = b^2-4ac$$


    - Se trovo i parametri \(a\), \(b\) e \(c\) per cui \(\Delta >0\), avrò due soluzioni reali e distinte;
    - Se trovo i parametri \(a\), \(b\) e \(c\) per cui \(\Delta =0\), avrò due soluzioni reali e coincidenti;
    - Se trovo i parametri \(a\), \(b\) e \(c\) per cui \(\Delta <0\), non avrò nessuna soluzione reale e l’equazione sarà di nuovo impossibile;
  • Solo dopo avere fatto queste verifiche possiamo passare alla risoluzione dell’equazione parametrica!

Esempio

$$x^2+(k+1)x+2=0$$


Siccome non ci sono casi evidenti per cui l’equazione perde di significato e il termine di secondo grado non è un parametro passiamo direttamente allo studio del delta:

$$\Delta = (k+1)^2-8=k^2+2k-7$$


Risolvendo la disequazione di secondo grado

$$k^2+2k-7 \ge 0$$


Avremo che

  • Per \(k>-1+\sqrt{8}\) e \(k<-1-\sqrt{8}\), il delta sarà positivo e l’equazione parametrica avrà due soluzioni reali e distinte.
  • Per \(k=-1+\sqrt{8}\) e \(k=-1-\sqrt{8}\), il delta sarà nullo e l’equazione parametrica avrà due soluzioni reali e coincidenti.
  • Per \(-1-\sqrt{8} < k < -1+\sqrt{8}\), il delta sarà negativo e l’equazione parametrica non avrà soluzioni reali e sarà impossibile.

Le soluzioni dell’equazione parametrica saranno in generale uguali a

$$x_{1,2} = \frac{-(k+1)\pm \sqrt{\Delta}}{2}$$

  • Se siamo nel caso in cui \(k=-1+\sqrt{8}\) il delta è nullo e l’equazione ha una soluzione reale e coincidente, che si trova esplicitamente sostituendo alla soluzione il valore di \(k\) preso in considerazione;
  • Se siamo nel caso in cui \(k=-1-\sqrt{8}\) il delta è di nuovo nullo e ripetiamo il discorso fatto al punto precedente;
  • Se siamo nel caso in cui il delta è positivo avremo due soluzioni reali e distinte per l’equazione parametrica al variare di \(k\), date dalla formula scritta qui sopra.