Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in matematica perché si usano per risolvere problemi in molti settori scientifici. Questo è un argomento tra i più complessi da affrontare, basti pensare che conosciamo la soluzione esplicita solo di pochissime di queste equazioni! In questa trattazione, perciò, non entreremo nel dettaglio e nella teoria delle equazioni differenziali, ma ne daremo un primo approccio.

Definizione

Un equazione differenziale ordinaria di ordine \(n\) è un equazione che ha per incognita una funzione \(y(x)\) e che lega fra loro la variabile \(x\), la funzione \(y(x)\) e le prime n derivate della funzione \(y(x)\)

$$F(x, y(x), y’(x), y’’(x), \cdots , y^{(n)}(x))=0$$


Noi ci contreremo sulle equazioni differenziali della forma:

$$F(x, y(x), y’(x))=0$$


che vengono chiamate equazioni differenziali ordinarie al primo ordine. D’ora in poi ometteremo \(x\) nelle funzioni \(y(x)\) per alleggerire un po’ la notazione e quindi scriveremo:

$$F(x, y, y’)=0$$


bisogna, però, tenere bene a mente che la \(y\) è una funzione e non una variabile.
Risolvere un equazione differenziale vuol dire scoprire di che forma è fatta la funzione y(x). Cosa possiamo usare per trovarla? Possiamo pensare di usare gli integrali.

Esempio
Se dobbiamo risolvere l’equazione

$$y’=x^2$$


Qui integrando ambo i membri avremo:

$$\int y’ \,dy=\int x^2 \,dx$$


e risolvendoli

$$y=\frac{x^3}{3}+c$$


con c variabile reale.

Cosa notiamo da questo esempio? Che innanzitutto non si parla della soluzione ma delle SOLUZIONI… per avere unica soluzione bisogna partire da condizioni che tralasciamo nella trattazione. Andiamo a vedere diversi tipi di equazioni differenziali con il loro metodo di risoluzione.

Equazioni differenziali a variabili separabili

Sono del tipo

$$y’=a(x) y$$


dove \(a(x)\) è una funzione reale che conosciamo. Per trovare una soluzione di questa separiamo le variabili, cioè portiamo da un membro dell’uguaglianza tutte le funzioni \(y\) e dall’altro lasciamo la funzione \(a(x)\). In questo caso

$$\frac{y’}{y}=a(x)$$


Siamo nel caso dell’esempio

$$\int \frac{y’}{y} \,dy=\int a(x) \,dx$$


chiamando \(A(x)\) la primitiva di \(a(x)\) abbiamo quindi

$$ln(y)= A(x)+c$$


facendo l’esponenziale

$$y=e^{ A(x)+c }$$


e infine, ponendo \(e^c=k\) abbiamo la formula risolutiva

$$y=ke^{ A(x) }$$

Equazioni differenziali del primo ordine lineari

Sono della forma

$$y’+a(x) y= b(x) $$


dove \(a(x)\) e \(b(x)\) sono funzioni in \(x\).

Omogenee

$$y’+a(x) y= 0$$


Notiamo che se portiamo al membro a destra \(a(x)y\), mi diventa una equazione differenziale a variabili separabili:

$$y’=-a(x) y$$


quindi facendo gli stessi conti di prima la soluzione sarà:

$$y=ke^{-A(x)}$$


dove \(k\) è una costante reale e \(A(x)\) una primitiva di \(a(x)\).

Non omogenee

$$y’+a(x) y= b(x) $$


qui daremo una formula risolutiva senza dilungarci tanto….

$$y=e^{-A(x)}\biggl(\int b(x) e^{-A(x)} \,dx+k\biggl)$$


dove \(k\) è una costante reale e \(A(x)\) una primitiva di \(a(x)\).

Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine omogenee

Sono del tipo

$$y’=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$$


dove \(P(x,y)\) e \(Q(x,y)\) sono polinomi omogenei, cioè polinomi in cui tutti i loro monomi hanno lo stesso grado. Per questa tipologia basta porre

$$u=\frac{y}{x}\>da\>cui\>y=ux\>e\>y’=u’x+u$$


e ritroviamo un equazione a variabili separabili.
Esempio

$$y’=\frac{xy}{y^2+x^2}$$


con \( y^2+x^2\neq 0\). Facendo il cambio di variabili che dicevamo avremo

$$u’x+u=\frac{x^2u}{u^2x^2+x^2}$$


$$u’x+u=\frac{u}{u^2+1}$$


$$\frac{u’}{\frac{u}{u^2+1}-u}=\frac{1}{x}$$


che è a variabili separabili!!