Le equazioni differenziali sono tra le equazioni più studiate in matematica perché si usano per risolvere problemi in molti settori scientifici. Questo è un argomento tra i più complessi da affrontare, basti pensare che conosciamo la soluzione esplicita solo di pochissime di queste equazioni! In questa trattazione, perciò, non entreremo nel dettaglio e nella teoria delle equazioni differenziali, ma ne daremo un primo approccio.
Definizione
Un equazione differenziale ordinaria di ordine \(n\) è un equazione che ha per incognita una funzione \(y(x)\) e che lega fra loro la variabile \(x\), la funzione \(y(x)\) e le prime n derivate della funzione \(y(x)\)
$$F(x, y(x), y’(x), y’’(x), \cdots , y^{(n)}(x))=0$$
Noi ci contreremo sulle equazioni differenziali della forma:
$$F(x, y(x), y’(x))=0$$
che vengono chiamate equazioni differenziali ordinarie al primo ordine. D’ora in poi ometteremo \(x\) nelle funzioni \(y(x)\) per alleggerire un po’ la notazione e quindi scriveremo:
$$F(x, y, y’)=0$$
bisogna, però, tenere bene a mente che la \(y\) è una funzione e non una variabile.
Risolvere un equazione differenziale vuol dire scoprire di che forma è fatta la funzione y(x). Cosa possiamo usare per trovarla? Possiamo pensare di usare gli integrali.
Esempio
Se dobbiamo risolvere l’equazione
$$y’=x^2$$
Qui integrando ambo i membri avremo:
$$\int y’ \,dy=\int x^2 \,dx$$
e risolvendoli
$$y=\frac{x^3}{3}+c$$
con c variabile reale.
Cosa notiamo da questo esempio? Che innanzitutto non si parla della soluzione ma delle SOLUZIONI… per avere unica soluzione bisogna partire da condizioni che tralasciamo nella trattazione. Andiamo a vedere diversi tipi di equazioni differenziali con il loro metodo di risoluzione.
Equazioni differenziali a variabili separabili
Sono del tipo
$$y’=a(x) y$$
dove \(a(x)\) è una funzione reale che conosciamo. Per trovare una soluzione di questa separiamo le variabili, cioè portiamo da un membro dell’uguaglianza tutte le funzioni \(y\) e dall’altro lasciamo la funzione \(a(x)\). In questo caso
$$\frac{y’}{y}=a(x)$$
Siamo nel caso dell’esempio
$$\int \frac{y’}{y} \,dy=\int a(x) \,dx$$
chiamando \(A(x)\) la primitiva di \(a(x)\) abbiamo quindi
$$ln(y)= A(x)+c$$
facendo l’esponenziale
$$y=e^{ A(x)+c }$$
e infine, ponendo \(e^c=k\) abbiamo la formula risolutiva
$$y=ke^{ A(x) }$$
Equazioni differenziali del primo ordine lineari
Sono della forma
$$y’+a(x) y= b(x) $$
dove \(a(x)\) e \(b(x)\) sono funzioni in \(x\).
Omogenee
$$y’+a(x) y= 0$$
Notiamo che se portiamo al membro a destra \(a(x)y\), mi diventa una equazione differenziale a variabili separabili:
$$y’=-a(x) y$$
quindi facendo gli stessi conti di prima la soluzione sarà:
$$y=ke^{-A(x)}$$
dove \(k\) è una costante reale e \(A(x)\) una primitiva di \(a(x)\).
Non omogenee
$$y’+a(x) y= b(x) $$
qui daremo una formula risolutiva senza dilungarci tanto….
$$y=e^{-A(x)}\biggl(\int b(x) e^{-A(x)} \,dx+k\biggl)$$
dove \(k\) è una costante reale e \(A(x)\) una primitiva di \(a(x)\).
Equazioni differenziali ordinarie del primo ordine omogenee
Sono del tipo
$$y’=\frac{P(x,y)}{Q(x,y)}$$
dove \(P(x,y)\) e \(Q(x,y)\) sono polinomi omogenei, cioè polinomi in cui tutti i loro monomi hanno lo stesso grado. Per questa tipologia basta porre
$$u=\frac{y}{x}\>da\>cui\>y=ux\>e\>y’=u’x+u$$
e ritroviamo un equazione a variabili separabili.
Esempio
$$y’=\frac{xy}{y^2+x^2}$$
con \( y^2+x^2\neq 0\). Facendo il cambio di variabili che dicevamo avremo
$$u’x+u=\frac{x^2u}{u^2x^2+x^2}$$
$$u’x+u=\frac{u}{u^2+1}$$
$$\frac{u’}{\frac{u}{u^2+1}-u}=\frac{1}{x}$$
che è a variabili separabili!!