In questo articolo trattiamo le equazioni di secondo grado, un argomento molto interessante e che ricorre spesso nella matematica. Andiamo a dare, quindi, una definizione e a distinguere le varie tipologie in cui potremmo imbatterci.

Definizione e riduzione in forma normale

Un equazione di secondo grado o quadratica ad un incognita (che di solito indichiamo con \(x\)) è un equazione polinomiale di cui uno dei due membri è un polinomio di grado 2 e l’altro membro è un polinomio di grado al più 2: quindi l’incognita \(x\) deve comparire almeno una volta con esponente uguale a 2 e, in totale, non deve avere un esponente maggiore di 2. Facciamo qualche esempio per fissare il concetto! Sono equazioni di secondo grado le seguenti:

$$5x^2=0$$


$$x^2=5$$


$$x^2=-x$$


$$2x^2+3x=x^2+4x+5$$


Come per le equazioni di primo grado possiamo riscrivere le equazioni di secondo grado in forme equivalenti. Tanto per fare chiarezza l’equazione

$$2x^2+3x=x^2+4x+5$$


si può riscrivere equivalentemente, tramite il primo principio di equivalenza delle equazioni, come

$$x^2+2x=3x+5$$


Una particolare rilevanza ha la forma normale delle equazioni di secondo grado, poiché, come vedremo successivamente, si possono risolvere con facilità in questa forma. La forma normale delle equazioni di secondo grado è definita come:

$$ax^2+bx+c=0$$


a patto che \(a \neq 0\) (altrimenti l’equazione non sarebbe di secondo grado!). I coefficienti \(a\), \(b\) e \(c\) sono numeri appartenenti all’insieme dei numeri reali, in particolare:

  • \(a\) viene detto termine di secondo grado dell’equazione.
  • \(b\) viene detto termine di primo grado dell’equazione.
  • \(c\) viene detto termine noto dell’equazione.

Come ridurre le equazioni di secondo grado in forma normale? Basta usare il primo principio di equivalenza delle equazioni per trasportare tutti i termini o al primo o al secondo membro e farci comparire uno \(0\) all’altro membro. Tornando all’equazione precedente:

$$2x^2+3x=x^2+4x+5$$


trasportando tutto al primo membro avremo:

$$x^2-x-5=0$$


che è la forma normale associata all’equazione iniziale.
Ci domandiamo ora: quante soluzioni potremmo avere da un equazione di secondo grado? Avremo tre casi:

  • l’equazione avrà 2 soluzioni reali e distinte;
  • l’equazione avrà 1 soluzione reale: più precisamente l’equazione avrà 2 soluzioni reali ma coincidenti;
  • l’equazione non avrà nessuna soluzione reale e quindi è impossibile.

Equazioni di secondo grado pure

Un equazione di secondo grado pura è un equazione di secondo grado ridotta in forma normale in cui il termine di primo grado è nullo e gli altri termini sono non nulli. Cioè è un equazione della forma:

$$ax^2+c=0$$


con \(a \neq 0\) e \(c \neq 0\).
Riconducendo l’equazione

$$x^2=5$$


in forma normale avremo

$$x^2-5=0$$


che è un equazione pura.

Equazioni di secondo grado spurie

Un equazione di secondo grado spuria è un equazione di secondo grado ridotta in forma normale in cui il termine noto è nullo e gli altri termini sono non nulli. Cioè è un equazione della forma:

$$ax^2+bx=0$$


con \(a \neq 0\) e \(b \neq 0\).
Come prima, l’equazione

$$x^2=-x$$


ridotta in forma normale, mi da l’equazione di secondo grado spuria

$$x^2+x=0$$