Prima di parlare di dominio di una funzione bisogna aver chiara la nozione di funzione. In particolare, per quello che vogliamo studiare in questa lezione, ci concentreremo sulle funzioni che hanno come insieme di partenza un sottoinsieme dei numeri reali \(A\) (con \(A \) che può anche essere tutto l’insieme dei numeri reali \mathbbR) e come insieme di arrivo tutto \(\mathbb{R}\):

$$f\colon A\to\mathbb{R},\qquad x\mapsto f(x)$$

Il dominio è l’insieme di partenza su cui calcoliamo la funzione: quello che fino ad ora abbiamo chiamato A.
Di solito il dominio di una funzione non viene esplicitamente indicato e quando si chiede di trovarlo si sta in realtà chiedendo di trovare il suo dominio massimale detto anche campo di esistenza o insieme di definizione, cioè l’insieme degli x appartenenti a \(\mathbb{R}\) per cui esiste un valore numerico y tale che \(y=f(x)\). In altre parole, il più grande insieme di numeri reali su cui ha senso calcolare la funzione.
Quindi chiameremo dominio della funzione il suo dominio massimale e lo denoteremo con \(D(f)\).

Esempio

Come si ricorda già dalle scuole medie, affinché una frazione abbia senso, non può avere denominatore uguale a zero. In termini di dominio questo si traduce dicendo che la funzione:

$$ f\colon x \to \frac{1}{x} $$


ha dominio \(x \neq 0\).
Scritto in notazione insiemistica diremo:

$$ D(f) = \mathbb{R} – \{0\} = ( -\infty, 0) \cup (0, +\infty) $$


il dominio di questa funzione è dato dall’insieme dei numeri reali meno lo zero: tutti i numeri da meno infinito a zero e da zero a più infinito con lo zero escluso.

Come si fa a calcolarlo?

Di solito nei problemi di studio di un grafico di una funzione abbiamo solo l’espressione analitica di questa e non abbiamo informazioni sul dominio, vediamo un po’ come calcolarlo per varie tipologie di funzioni elementari.

Funzioni polinomiali

$$y=f(x)=a_nx^n+...+a_1x+a_0$$

Per questa tipologia di funzioni non abbiamo nessun problema nel trovare un valore numerico y per qualunque x di \(\mathbb{R}\), quindi \(D(f)=(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}\)

Funzioni esponenziali

$$y=f(x)=e^{p(x)}$$

dove p(x) è una funzione polinomiale.
Come prima non abbiamo nessun problema, quindi \(D(f)=(-\infty,+\infty)=\mathbb{R}\)

Funzioni polinomiali frazionarie

$$y=\frac{f(x)}{g(x)}$$

dove f(x) e g(x) sono funzioni polinomiali.
Qui, quando \(g(x)=0\), la funzione perde di significato: non ha senso dividere per 0!
Invece la funzione sarà ben definita per tutti i valori di x tali che \(g(x)\) sia diversa da 0, ovvero il suo dominio sarà:

$$D\biggl(\frac{f(x)}{g(x)}\biggl)=\{tutti\>gli\>x\>tali\>che\> g(x)\not=0\}=\{g(x)\not=0\}$$

Facciamo degli esempi per fissare le idee:

  • Trovare il dominio della funzione \(y=\frac{1}{(x-1)}\).
    In questo caso \(f(x)=1 e g(x)=x-1\). Dobbiamo trovare le x tali che \(g(x)\not=0\), quindi basta imporre:

    $${x-1\not=0\longrightarrow x\not=1}$$


    e il dominio, quindi sarà:

    $$D\biggl(\frac{f(x)}{g(x)}\biggl)=D\biggl(\frac{1}{x-1}\biggl)=\{x-1\not=0\}=\{x\not=1\}=$$


    $$=(-\infty,1)\cup(1,+\infty)$$

  • Trovare il dominio della funzione \(y=\frac{1}{x^2-9}\).

    $$D\biggl(\frac{f(x)}{g(x)}\biggl)=D\biggl(\frac{1}{x^2-9}\biggl)=\{x^2-9\not=0\}=$$


    $$=\{(x\not=-3)\vee (x\not=3)\}=(-\infty,-3)\cup(-3,+3)\cup(3,+\infty)$$

  • Trovare il dominio della funzione \(y=\frac{1}{x^2+9}\).

    $$D\biggl(\frac{f(x)}{g(x)}\biggl)=D\biggl(\frac{1}{x^2+9}\biggl)=\{x^2+9\not=0\}=$$


    $$=\{x^2\not=-9\}=(-\infty,+\infty)$$

Funzioni logaritmiche

$$y=log(f(x))$$


con \(f(x)\) funzione polinomiale. La funzione logaritmo per come è definita deve avere il suo argomento maggiore di 0, quindi il suo dominio sarà:

$$D(log(f(x)))=\{tutti\>gli\>x\>tali\>che\> f(x)>0\}=\{f(x)>0\}$$


Facciamo un esempio per chiarire il concetto:

  • Calcolare il dominio di \(y=log(x^2-5x+6)\).

    $$D(log(x^2-5x+6))=\{(x^2-5x+6)>0\}$$


    e risolvendo la disequazione \(x^2-5x+6>0\) abbiamo:

    $$D(log(x^2-5x+6))=(-\infty,2)\cup(3,+\infty)$$

Funzioni irrazionali

$$y=\sqrt[n]{f(x)}$$


con \f(x)\) funzione polinomiale e n intero positivo.

  • Se n è dispari, non abbiamo nessun problema poiché sappiamo che esistono radici dispari per ogni numero, positivo o negativo che sia:

    $$D(\sqrt[n]{f(x)})=\mathbb{R}$$

  • Se n è pari dobbiamo imporre l’argomento della radice maggiore di 0:

    $$D(\sqrt[n]{f(x)})=\{x\>tali\>che\>f(x)\ge0\}=\{f(x)\ge0\}$$

Abbiamo sempre \(f(x)\) funzione polinomiale. In questo caso, per trovare il dominio, dobbiamo imporre il sistema:

$$\begin{cases} f(x)\ge-1\\ f(x)\le1 \end{cases}$$

Funzioni esponenziali con base variabile

$$y=[f(x)]^{g(x)}$$


con \(f(x)\) e \(g(x)\) funzioni.
Qui bisogna richiedere che \f(x)\) sia maggiore di 0, quindi il dominio è:

$$D([f(x)]^{g(x)})=\{tutti\>gli\>x\>tali\>che\> f(x)>0\}=\{f(x)>0\}$$

Funzioni composte
Quando combini insieme più funzioni elementari, per trovare il dominio, bisogna fare l’intersezione dei domini di tutte le funzioni elementari che compaiono nella tua funzione. Facciamo un esempio:
Trovare il dominio della funzione \(f(x)=\sqrt[2]{x}+log\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)\). Troviamo i vari domini delle funzioni elementari:

  • \(D(\sqrt[2]{x})=\{x\ge0\}=[0,+\infty)\);
  • \(D\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)=\{x-1\not=0\}=\{x-1\not=0\}=\{x\not=1\}\);
  • \(D\biggl(log\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)\biggl)=\{\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)>0\}\).
    Risolvendo quest’ultima disequazione abbiamo:

    $$D\biggl(log\biggl(\frac{x+1}{x-1}\biggl)\biggl)=(-\infty,-1)\cup(1,+\infty)$$


    Affinché abbia senso la funzione composta, devono essere definite contemporaneamente tutte le funzioni elementari che compaiono al suo interno; questo si ottiene intersecando i vari domini. Per concludere abbiamo che il dominio della funzione composta è:

    $$D(f(x))=[0,+\infty)\cap\{x\not=1\}\cap((-\infty,-1)\cup(1,+\infty))=$$


    $$=[0,1)\cup(1,+\infty)$$

Questa trattazione sarà molto importante per lo studio di funzioni.