La derivata serve a determinare come cresce una funzione vicino ad un punto del suo dominio. Si calcola, quindi, punto per punto e rappresenta la pendenza della retta tangente, nel punto in cui si calcola, al grafico della funzione. Andiamo a formalizzare ciò che abbiamo scritto e a definire la derivata di una funzione.

Il concetto di derivata

Prima di tutto, non si può parlare di derivata se la funzione non è continua nel punto in cui si vuole derivare. Consideriamo una funzione reale \(f(x)\) a variabili reali \(x\), il suo grafico \((x,f(x))\) al variare di \(x\) e un punto \(x_0\) in cui vogliamo calcolare la derivata. Prendiamo ora un punto generico \(\bar{x}\) vicino a \(x_0\) e calcoliamoci la retta passante per i punti \((x_0,f(x_0))\) e \((\bar{x},f(\bar{x}))\):

$$\frac{y- f(\bar{x})}{ f(\bar{x})- f(x_0)}=\frac{x-\bar{x}}{ \bar{x}-x_0}$$


che facendo un paio di passaggi diventa

$$y= \biggl(\frac{ f(\bar{x})- f(x_0)}{ \bar{x}-x_0}\biggl)x-\frac{\bar{x}(f(\bar{x})- f(x_0))}{ \bar{x}-x_0}+ f(\bar{x})$$


che è la retta cercata! Per brevità potremmo anche scrivere

$$y=mx+q$$


dove

$$m=\biggl(\frac{ f(\bar{x})- f(x_0)}{ \bar{x}-x_0}\biggl)$$


$$q=-\frac{\bar{x}(f(\bar{x})- f(x_0))}{ \bar{x}-x_0}+ f(\bar{x})$$


Il coefficiente \(m\) viene detto rapporto incrementale o coefficiente angolare. Notiamo anche che in una generica retta al variare di \(m\) la pendenza della retta cambia. Quindi siamo quasi arrivati a dove vogliamo, solo che la retta su cui stiamo valutando la pendenza è una retta secante e non tangente in \(x_0\) come dicevamo all’inizio. Però al tendere ("all’avvicinarsi") di \(\bar{x}\) a \(x_0\) il coefficiente angolare \(m\) tende al coefficiente angolare \(m_t\) della retta tangente in \(x_0\)…scritto in formula

$$m_t=\lim_{\bar{x} \to x_0 }\frac{ f(\bar{x})- f(x_0)}{ \bar{x}-x_0}$$


è evidente che tale limite qualunque sia \(f\) e qualunque sia \(x_0\) si presenta nella forma indeterminata \(\biggl[\frac{0}{0}\biggl]\). Tuttavia se tale limite esiste, cioè è finito e unico, esso prende il nome di derivata della funzione \(f(x)\) nel punto \(x_0\) e si denota con

$$f’(x_0)= \lim_{\bar{x} \to x_0 }\frac{ f(\bar{x})- f(x_0)}{ \bar{x}-x_0}$$


Potremmo riscrivere la definizione di derivata anche in un modo equivalente a questo qui sopra, infatti ponendo

$$\bar{x}-x_0=h$$


e sostituendo la variabile \(\bar{x}\) con la nuova variabile \(h\)

$$f’(x_0)= \lim_{h \to 0 }\frac{ f(x_0+h)- f(x_0)}{ h}$$


come abbiamo già detto le definizioni sono equivalenti e secondo le necessità si usa o una o l’altra.
Qui sotto ora scrivo un paio di modi per indicare la dervata di una funzione:

$$f’(x)\quad D[f(x)]\quad \frac{\partial}{\partial x}f(x)$$

Derivate di funzioni elementari

  • \(f(x)=x\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)= \lim_{h \to 0 }\frac{x_0+h-x_0}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{h}{ h}=1$$

  • \(f(x)=x^2\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)= \lim_{h \to 0 }\frac{(x_0+h)^2-x_0^2}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{x_0^2+2hx_0+h^2-x_0^2}{ h}=$$


    $$=\lim_{h \to 0 }\frac{2hx_0+h^2}{ h}=2x_0$$

  • \(f(x)=x^3\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)= \lim_{h \to 0 }\frac{(x_0+h)^3-x_0^3}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{x_0^3+3hx_0^2+3h^2x_0+h^3-x_0^3}{ h}=$$


    $$=\lim_{h \to 0 }\frac{3hx_0^2+3h^2x_0+h^3}{ h}=3x_0^2$$


    Osservazione
    In generale \(f(x)=x^n\) calcolata in \(x_0\) vale

    $$ f’(x_0)=nx_0^{n-1}$$

  • \(f(x)=e^x\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)= \lim_{h \to 0 }\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{e^{x_0}(e^h-1)}{ h}=$$


    ma \(\frac{(e^h-1)}{h}\) è un limite notevole per \(h\) che tende a 0, quindi

    $$=e^{x_0}ln(e)= e^{x_0}$$

  • \(f(x)=sin(x)\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)=\lim_{h \to 0 }\frac{sin(x_0+h)-sin(x_0)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{sin(x_0)cos(h)+ cos(x_0)sin(h)-sin(x_0)}{h}=$$


    usando anche qui i limiti notevoli abbiamo

    $$=\lim_{h \to 0 }\frac{cos(x_0)sin(h)}{h}-\frac{sin(x_0)(1-cos(h))}{h}=cos(x_0)$$

  • \(f(x)=cos(x)\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)=\lim_{h \to 0 }\frac{cos(x_0+h)-cos(x_0)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{cos(x_0)cos(h)-sin(x_0)sin(h)-cos(x_0)}{h}=$$


    con i limiti notevoli…

    $$=\lim_{h \to 0 }-\frac{cos(x_0)(1-cos(h))}{h}-\frac{ sin(x_0)sin(h)}{h}=- sin(x_0)$$

  • \(f(x)=ln(x)\) calcolata in \(x_0\)

    $$f’(x_0)= \lim_{h \to 0 }\frac{ln(x_0+h)-ln(x_0)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{ln\biggl(\frac{ x_0+h}{ x_0}\biggl)}{ h}=\lim_{h \to 0 }\frac{ln\biggl(1+\frac{h}{ x_0}\biggl)}{ h}=$$


    ora ponendo \(\frac{h}{x_0}=\frac{1}{t}\), applicando la proprietà del logaritmo e il limite notevole avremo

    $$=\lim_{t \to \infty }ln\biggl(1+\frac{1}{t}\biggl)^{\frac{t}{x}}=ln(e)^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}$$