Dal grafico di funzione a quello della sua derivata

Abbiamo visto che studiare il grafico di una funzione è un processo molto lungo che richiede precisione nei conti e la conoscenza di molti argomenti preliminari. Molti esercizi, invece, richiedono, conoscendo il grafico della funzione, di ricavare il grafico della sua derivata e, viceversa, di ricavare il grafico della sua primitiva. Analizziamo questi due casi, evidenziando i passaggi da fare per svolgere questi due problemi.
Partiamo sempre da una funzione \(f\) a valori nel proprio dominio \(D\) in \(\mathbb{R}\):

$$f\colon D\to\mathbb{R},\quad x\mapsto f(x)$$

Dal grafico della funzione al grafico della sua derivata

Dato il grafico di \(f(x)\) vogliamo ricavare il grafico di \(f’(x)\), facendo delle semplici osservazioni su \(f(x)\). Prima di tutto studiamo la positività, la negatività e le intersezioni con l’asse delle ascisse di \(f’(x)\):

• Se la funzione è crescente in un certo intervallo \(I\) allora la sua derivata sarà positiva in \(I\), quindi starà al di sopra dell’asse delle ascisse nel suo grafico
  

  $$ f(x)\>crescente\>\implies\> f’(x)>0$$

• Se la funzione è decrescente in un certo intervallo \(I\) allora la sua derivata sarà negativa in \(I\), quindi starà al di sotto dell’asse delle ascisse nel suo grafico
  

  $$ f(x)\>decrescente\>\implies\> f’(x)<0$$

• Se la funzione ha una tangente orizzontale per un certo punto \(x_0\) nel dominio allora il grafico della sua derivata intersecherà l’asse delle ascisse proprio nel punto \(x_0\)
  

  $$ x_0\>tale\>che\>f(x_0)\>punto\>a\>tangente\>orizzontale \>\implies\> f’(x_0)=0$$

Vediamo, ora, quando \(f’(x)\) è crescente, decrescente e quando ammette punti a tangente orizzontale:

• Se la funzione è convessa in certo intervallo \(I\), cioè \(f’’(x)>0\) in \(I\), allora il grafico della derivata è crescente in \(I\)
  

  $$ f’’(x)>0\>\implies\> f’(x)\>crescente$$

• Se la funzione è concava in certo intervallo \(I\), cioè \(f’’(x)<0\) in \(I\), allora il grafico della derivata è decrescente in \(I\)
  

  $$ f’’(x)<0\>\implies\> f’(x)\>decrescente$$

• Se la funzione ha un punto di flesso per un certo punto \(x_0\) nel dominio allora il grafico della sua derivata avrà un punto a tangente orizzontale in \(x_0\)
  

  $$f’’(x_0)=0\>\implies\> f’(x_0)\>punto\>a\>tangente\>orizzontale $$

Per concludere se la funzione \(f(x)\) è pari allora \(f’(x)\) sarà dispari e, viceversa, se la funzione \(f(x)\) è dispari allora \(f’(x)\) sarà pari.

Dal grafico della funzione al grafico della sua primitiva

Dato il grafico di \(f(x)\) vogliamo ricavare il grafico della primitiva \(F(x)\), facendo delle semplici osservazioni su \(f(x)\). Poiché stavolta avremo che \(f(x)\) è la derivata di \(F(x)\)

$$ f(x)= F’(x)$$

• Se \(f(x)>0\) in un certo intervallo \(I\), allora \(F(x)\) è crescente in \(I\)
  

  $$ f(x)>0 \>\implies\>F(x)\>crescente $$

• Se \(f(x)<0\) in un certo intervallo \(I\), allora \(F(x)\) è decrescente in \(I\)
  

  $$ f(x)<0 \>\implies\>F(x)\>decrescente $$

• Se \(f(x_0)=0\) per un certo \(x_0\) nel dominio, allora \(F(x_0)\) sarà un punto a tangente orizzontale della funzione primitiva
  

  $$ f(x_0)=0 \>\implies\>F(x_0)\>punto\>a\>tangente\>orizzontale $$

Prendendo in considerazione la derivata prima della funzione, invece, avremo per la funzione primitiva che

• Se \(f’(x)>0\) in un certo intervallo \(I\), allora \(F(x)\) è convessa in \(I\)
  

  $$ f’(x)>0 \>\implies\>F(x)\>convessa $$

• Se \(f’(x)<0\) in un certo intervallo \(I\), allora \(F(x)\) è concava in \(I\)
  

  $$ f’(x)<0 \>\implies\>F(x)\>concava $$

• Se \(f’(x_0)=0\) per un certo \(x_0\) nel dominio, allora \(F(x_0)\) sarà un punto di flesso della funzione primitiva
  

  $$ f’(x_0)=0 \>\implies\>F(x_0)\>punto\>di\>flesso $$