Negli articoli precedenti abbiamo definito le equazioni di secondo grado con la loro relativa forma normale e abbiamo visto quante soluzioni potremmo ottenere da tali equazioni. Ci poniamo, quindi, la domanda: come facciamo a trovare le soluzioni di un’equazione di secondo grado? Andiamo a vedere come si fa!

Metodi di risoluzione delle equazioni di secondo grado

Per risolvere un equazione di secondo grado, prima di tutto, conviene riportarsi alla forma normale dell’equazione e poi, a seconda dei casi, si procede con un metodo di risoluzione differente. Cominciamo quindi ad elencare questi casi, in modo da avere una visione chiara.

Caso: equazioni monomie

Se ci ritroviamo un equazione che ha tutti i termini nulli, eccetto quello di secondo grado

$$ax^2=0\quad a \neq 0$$


la soluzione è immediata, infatti per \(a \neq 0\) solo \(x= 0\) verifica l’uguaguaglianza. Questo tipo di equazione ha, quindi, due soluzioni reali, ma coincidenti entrambe nulle!

Caso: equazioni pure

Ricordando che le equazioni di secondo grado pure sono della forma

$$ax^2+c=0$$


con \(a \neq 0\) e \(c \neq 0\).
Portando il termine noto a secondo membro e dividendo ambo i membri per \(a\) avremo

$$x^2=-\frac{c}{a}$$


da qui si distinguono due casi:

  • se i segni di \(a\) e \(c\) sono concordi, abbiamo che \(-\frac{c}{a}\) è un numero negativo. Ora non esiste nessun numero reale che elevato al quadrato mi da un numero negativo: l’equazione non ammette nessuna soluzione.
  • se i segni di \(a\) e \(c\) sono discordi, abbiamo che \(-\frac{c}{a}\) è un numero positivo. Per questo caso avremo, invece, due soluzioni reali e distinte

    $$x_{1,2}=\pm \sqrt{-\frac{c}{a}}$$


    In questa abbiamo messo \(\pm\) perché sia la radice col più \(+\sqrt{-\frac{c}{a}}\) che quella col meno \(-\sqrt{-\frac{c}{a}}\) risolvono l’equazione… da qui le due soluzioni reali e distinte.

Caso: equazioni spurie

Le equazioni di secondo grado spurie sono della forma

$$ax^2+bx=0$$


con \(a \neq 0\) e \(b \neq 0\).
Raccogliamo per \(ax\) nell’equazione

$$ax\biggl(x+\frac{b}{a}\biggl)=0$$


Siamo di fronte a un prodotto. Un prodotto è nullo se soltanto se uno dei due fattori è nullo. In altre parole dobbiamo studiare se

$$ax=0$$


$$x+\frac{b}{a}=0$$


Abbiamo due equazioni di primo grado! Dalla prima equazione abbiamo che \(x=0\) è soluzione e dalla seconda che \(x=-\frac{b}{a}\) è soluzione. Quindi l’equazione di secondo grado avrà due soluzioni reali e distinte \(x_1=0\) e \(x_2=-\frac{b}{a}\).

Caso: equazione completa

Nel caso delle equazioni di secondo grado complete, quelle della forma

$$ ax^2 +bx + c =0 $$


con \( a \neq 0,\quad b \ne 0 , \quad c \neq 0 \), le soluzioni si trovano usando quella che viene comunemente chiamata “Formula risolutiva per le equazioni di secondo grado”.
Per prima cosa si calcola il discriminante, che si indica con la lettera greca delta

$$ \Delta = b^2 -4\cdot a\cdot c $$


Una volta calcolato il discriminante si calcolano le soluzioni nel seguente modo:

$$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} \qquad x_2 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} $$


Possiamo trovarci di fronte a diverse situazioni:

  • Nel caso in cui il discriminante \( \Delta = 0\)
    Allora la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado ci da due soluzioni reali e coincidenti: infatti se andiamo a sostituire il valore \( \Delta = 0\) nelle formule qui sopra avremmo che \(x_1=x_2\).
  • Nel caso in cui \(\Delta < 0\)
    Le due formule perdono di significato poichè abbiamo un numero negativo sotto radice! In questo caso l’equazione di secondo grado non ha nessuna soluzione.
  • L’ultimo caso è quello in cui \(\Delta > 0\)
    In questo caso entrambe le formule hanno senso e ci restituiscono due valori differenti: l’equazione di secondo grado avrà due soluzioni reali e distinte.

Osservazione
Anche nei casi in cui l’equazione di secondo grado non è completa si può comunque applicare la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete, sostituendo opportunamente zero nei valori di \(b\) e \(c\) che sono mancanti.

ATTENZIONE però ad usarla: i calcoli si complicano e alcuni professori lo considerano errato!

Come ultima cosa riportiamo per completezza la formula risolutiva delle equazioni di secondo grado complete ridotta. Questa formula si applica quando \(b\) è un numero intero pari. Infatti, per \(b\) pari, si ha che

$$ x_1 = \frac{-\frac{b}{2} + \sqrt{\Delta’}}{a} \qquad x_2 = \frac{-\frac{b}{2} - \sqrt{\Delta’}}{a} $$


dove

$$ \Delta’ = \frac{b^2 }{4} - a \cdot c $$

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