In questa lezione continuiamo a parlare di proporzioni. Dopo averne visto, nella scorsa lezione le prime proprietà, vediamo come utilizzarle per risolvere dei problemi pratici.

Definizione
Le proporzioni sono relazioni che coinvolgono quattro grandezze $a,b,c,d.$
Una proporzione appare solitamente nella seguente forma:

$$ a: b = c : d $$


e si legge “ $ \ a $ sta a $ \ b $ come $ \ c $ sta a $ \ d $ ”
Il rapporto tra le quantità $ \ a $ e $ \ b $ è lo stesso che c’è tra le quantità $ \ c $ e $ \ d $ .
Le proporzioni servono proprio a mettere in relazione quantità che stanno in rapporto costante le une con le altre.

Definizione
Data una proporzione

$$ a: b = c : d $$

  • i numeri più esterni rispetto all’uguale vengono detti estremi proporzionali,
  • i numeri più interni rispetto all’uguale vengono detti medi proporzionali.
    Per intenderci gli estremi proporzionali sono $ \ a$ e $ \ d $ e i medi proporzionali sono $ \ b $ e $ \ c $.
    Alcune volte. quando è chiaro che si stia parlando di una proporzione, i termini vengono detti gli estremi e i medi della proporzione.

Ricerca del termine incognito

Alcune volte ci troviamo nella situazione in cui sappiamo che alcune grandezze sono proporzionali tra loro. Conosciamo il valore di tre di queste grandezze e vorremmo conoscere il valore della quarta.
Generalmente in matematica la grandezza che vogliamo trovare viene detta incognita, letteralmente la non conosciuta, e si indica con la lettera $ \ x $ da non confondere col simbolo della moltiplicazione $ \times $.

Per evitare la confusione alcune volte il simbolo di moltiplicazione si indica con un puntino, o altre volte con la semplice giustapposizione.
Supponiamo di avere due quantità a e b, le seguenti scritture sono equivalenti:

$$ a \times b \qquad a \cdot b \qquad a b $$

Esempio
Supponiamo di avere la seguente proporzione:

$$ a : x = c : d $$


Utilizzando la proprietà fondamentale enunciata nella scorsa lezione abbiamo che il prodotto degli estremi è uguale al prodotto dei medi

$$ c x = a d $$

Quindi $ \ c $ moltiplicato per $ \ x $ è uguale al valore di $ \ a $ moltiplicato per $ \ d$.

Per conoscere il valore di $ \ x $ basta dividere entrambi i membri dell’uguaglianza per $ \ c $ ottenendo il seguente valore:

$$ x = \frac{ a d} {c} = \frac{ a \times d} {c} $$

Nelle prossima lezione finalmente vedremo come utilizzare la tecnica qui proposta per risolvere problemi pratici che coinvolgono le proporzioni