In questa lezione parliamo di un argomento di fondamentale importanza in matematica, le funzioni, cercando di farlo nel modo più elementare possibile. Spesso infatti se ne sente parlare durante la propria carriera scolastica, ma nella maggior parte dei casi non si riesce ad avere una situazione chiara dell’argomento.

Nel caso più semplice una funzione non è altro che una legge, una regola, che mette in relazione due grandezze. Di solito queste due grandezze sono indicate con le lettere.

$$ x \quad \mbox{e} \quad y $$


Si scrive che che $y$ è funzione di $x$

$$ y=f(x)$$

Esempio
Siano $x$ e $y$ legate dalla seguente relazione:

$$ y=x^2 .$$


Assegnando dei valori alla variabile $x$ è possibile ricavare i valori della variabilie $y$
ad esempio
se $ x= 1, \quad y=1 $
se $ x= 2, \quad y=4 $
se $ x= 3, \quad y=9 $
è la funzione “quadrato”

In questo senso:

  • la variabile $x$ viene detta variabile indipendente
  • la variabile $y$ è detta variabile dipendente
    perché dipende appunto dal valore che assume la variabile $x$.

Vediamo insieme qualche altro esempio di funzione

Esempio

La funzione più semplice in assoluto è quella che si chiama funzione identità, il legame tra la variabile $x$ e la variabile $y$ è di uguaglianza.

$$ y=x $$

se $ x= 1, \quad y=1 $
se $ x= 2, \quad y=2$
se $ x= 3, \quad y=3 $

Altri esempi di funzione sono

$$ y = \sqrt{x} \qquad y = 3 \times x +2 \qquad y= \frac{7}{x} $$

Alcune volte una funzione può essere immaginata come una scatola magica in cui inseriamo un numero e ci restituisce un altro numero. La coppia di numeri input/output sono denotati con la scrittura $(x,f(x))$ o anche $(x,y)$

Rappresentazione grafica di una funzione

Alcune volte siamo interessati a capire come varia la varibile dipendente rispetto alla variabile indipendente: cosa succede se la $x$ diventa un numero grande?

Per questo motivo può essere utile rappresentare graficamente la funzione cioè la relazione che c’è tra la $y$ e la $x$.

L’idea è quella di formare una tabellina con alcuni valori della funzione al variare della variabile indipendente:

$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$

$$f(x) = \quad f(1) \quad f(2) \quad f(3) \quad f(4) \quad f(5) \quad f(6) \dots$$

Esempio
Data la funzione $y=x^2$ la tabellina diventa

$$x = \qquad 1 \qquad 2 \qquad 3 \qquad 4 \qquad 5 \qquad 6 \dots $$

$$y = \qquad 1 \qquad 4 \qquad 9 \qquad 16 \qquad 25 \qquad 36 \dots $$

Le coppie $( x, y)$ possono essere viste come punti su una griglia detta piano cartesiano.

L’idea è la stessa della battaglia navale: ad esmpio se vogliamo posizionare il punto $(x,y) = (x,f(x)) = (2,4) $ in questaa griglia, basterà vedere dove si incrociano la seconda linea verticale partendo da sinistra e la quarta linea orizzontale partendo dal basso.

Una volta posizionati tutti i punti, si collegano tra loro il primo con il secondo, il secondo con il terzo e così via.
Questo procedimento può essere generalizzato prendendo valori della $x$ che non siano necessariamente dei numeri naturali, ma anche numeri interi, positivi, negativi o anche numeri razionali.

Il disegno che viene fuori da questo procedimento viene detto grafico della funzione. Naturalmente il disegno sarà solo una approssimazione del reale grafico della funzione che diventa più preciso tanti più punti vengono utilizzati per ottenerlo.

Nelle prossime lezioni vedremo due funzioni particolari

$$ y = K \times x \qquad y = \frac{K}{x} $$


dove al posto $K$ immaginiamo un qualunque numero. Le analizzeremo e parleremo del legame tra queste funzioni e le proporzioni.