Iniziamo subito dando una definizione precisa di triangolo rettangolo: si tratta di un triangolo in cui l’angolo, formato da due lati (detti cateti), è retto, cioè di 90°. Il lato opposto all’angolo retto prende il nome di ipotenusa. Questo triangolo è soggetto al famoso teorema di Pitagora che afferma come l’ipotenusa di un triangolo rettangolo sia uguale alla radice quadrata della somma dei quadrati costruiti sui cateti.

Il triangolo rettangolo ha una serie di proprietà che andremo ad elencare e delle formule precise per trovare area e perimetro. Definire queste formule è utile per risolvere problemi in tutti gli ambiti scolastici, considerato che agli studenti viene chiesto di risolvere esercizi relativi al triangolo rettangolo sia alle scuole medie che alla scuole superiori.
Prima di cominciare con la spiegazione rendiamo noti i simboli che utilizzeremo, per maggiore chiarezza:

  • c1 sarà il cateto minore
  • c2 sarà il cateto maggiore
  • i sarà l’ipotenusa
  • 2p sarà il perimetro
  • A sarà l’area
  • h sarà l’altezza relativa all’ipotenusa

Proprietà del triangolo rettangolo

Vediamo ora le proprietà relative al triangolo rettangolo:

  • dato l’angolo di 90°, due lati sono tra loro perpendicolari;
  • il lato opposto all’angolo retto prende il nome di ipotenusa, gli altri due sono i cateti;
  • gli angoli interni divisi dall’angolo retto sono acuti e, in particolare, complementari. Questa proprietà si deve al fatto che la somma degli angoli interni di un qualsiasi triangolo vale sempre 180°; essendovi, in questo caso specifico, un angolo da 90°, la somma delle ampiezze dei due angoli rimanenti deve per forza essere uguale a 90°;
  • è sempre possibile inscrivere in una semicirconferenza un triangolo rettangolo; il circocentro, in questo caso, va a coincidere col punto medio dell’ipotenusa. Essa, a sua volta, coincide col diametro della semicirconferenza circoscritta.
  • l’ortocentro di un triangolo rettangolo coincide con corrisponde al vertice dell’angolo retto;
  • ognuno dei cateti è l’altezza relativa all’altro cateto;
  • ogni triangolo rettangolo è la metà di un determinato rettangolo;
  • per il triangolo rettangolo vale il teorema di pitagora (di cui abbiamo dato la definizione sopra);
  • vale il primo teorema di Euclide (definizione: in un triangolo rettangolo ciascun cateto è il medio proporzionale tra l’ipotenusa e la proiezione del cateto sull’ipotenusa);
  • vale il secondo teorema di Euclide (definizione: in un triangolo rettangolo l’altezza relativa all’ipotenusa è il medio proporzionale tra le proiezioni dei due cateti sull’ipotenusa).

Area del triangolo rettangolo: la formula

Come si calcola l’area del triangolo rettangolo? Vediamo insieme la formula e un esempio.
Formula area triangolo rettangolo: \( A= i \times h:2\)

Esempio

Dato un triangolo con \(i = 10 dm\) e \(h = 6 dm\), come si calcola l’area?

$$A = 10\times 6:2 = 60:2 = 30 dm$$

Considerata la formula diretta possiamo facilmente ottenere anche le formule inverse, cioè quelle che a partire dal valore dell’area ci possono far ottenere i due cateti e l’ipotenusa.

Formule inverse area triangolo rettangolo:

  • Ipotenusa dell’area: \(i = 2A:h\)
  • Altezza dell’area: \(h = 2A:i\)

Perimetro del triangolo rettangolo: la formula

Come calcolare il perimetro di un triangolo rettangolo? Ecco la formula e il relativo esempio.

Formula perimetro triangolo rettangolo: \(2p = i + c1 + c2\)

Data la formula per calcolare il perimetro, vediamo un esempio.

Esempio

Dato un triangolo con dati \(i = 10 m, c1 = 5 m, c2= 6 m\), calcola il perimetro.

Considerata la nostra formula, il perimetro in questo caso si calcolerà:

$$2p = 10 m + 5 m + 6 m = 21 m$$

Dalla formula principale è possibile ricavare anche le formule inverse. Avremo così:

  • \(i = 2p - c1 - c2\)
  • \(c1 = 2p - i - c2\)
  • \(c2 = 2p - i - c1\)