In generale, un condensatore è uno strumento che immagazzina energia elettrica in un campo elettrico e la rilascia in modo molto rapido, creando una differenza di potenziale. È molto usato nei circuiti elettrici, perciò, in ambito scolastico, è posto nella teoria dei circuiti. In particolare, si parla di condensatori piani poiché sono quelli più semplici da studiare.
Condensatore piano
Un condensatore piano è costituito da due piastre metalliche, dette armature, parallele tra loro e molto vicine l’una dall’altra. Se il condensatore non è attraversato da nessuna carica elettrica, le piastre sono neutre e non vi è nessuna differenza di potenziale. Quando, invece, poniamo una certa carica \(Q\) su una delle due piastre, l’altra piastra si carica per induzione con una carica di segno opposto \(-Q\) e per questo vi è una differenza di potenziale tra le due armature (si passa da una carica \(Q\) a una carica \(-Q\)).
Capacità di un condensatore
La caratteristica più importante del condensatore è la capacità, indicata solitamente con la lettera \(C\), che indica il rapporto tra la carica \(Q\) nelle armature e la differenza di potenziale \(\Delta V\) che si crea tra un armatura e l’altra
$$C=\frac{Q}{\Delta V }$$
La capacità del condensatore corrisponde alla quantità di carica che bisogna accumulare sulle piastre per avere un differenza di potenziale unitaria. Si misura, nel Sistema Internazionale, in Farad \(F\) che è uguale ad un Coulomb su un Volt
$$[C]=\biggl[\frac{Q}{\Delta V }\biggl]=\frac{C}{V}=F$$
Campo elettrico in un condensatore
Se tra le due armature non c’è nessun dielettrico e l’area delle due armature sono trascurabili, possiamo immaginarlo come due distribuzioni di carica di segno opposto poste su due piani infiniti caricati uniformemente, paralleli ed ad una certa distanza. In questa situazione trovare il campo elettrico si riduce solamente al calcolo del campo tra le due armature poiché all’esterno di esse dà contributo nullo. Spieghiamolo in dettaglio…
Nella piastra caricata positivamente il campo elettrico è uscente, cioè se guardiamo a sinistra della piastra il verso del campo elettrico è a sinistra e se guardiamo a destra il verso del campo è a destra. Mentre nella piastra caricata negativamente il campo elettrico è entrante, cioè se si guarda a sinistra della piastra il verso del campo è a destra e se si guarda a destra il verso del campo è a sinistra. Perciò all’esterno delle armature i contributi del campo elettrico si annullano ed il campo elettrico è quindi nullo poiché i versi dei campi generati dalle piastre sono opposti, mentre all’interno delle piastre i versi dei campi sono concordi e quindi vi è un campo elettrico non nullo. Sappiamo, inoltre, che il campo generato da piano infinito uniformemente carico è dato da
$$E=\frac{\sigma}{2\epsilon_0}$$
dove \(\sigma\) è la densità superficiale di carica presente sul piano e \(\epsilon_0\) è la costante elettrica. Da questo il campo elettrico tra due piani infiniti caricati con la stessa quantità di carica ma di segno opposto è
$$E=\frac{\sigma}{\epsilon_0}$$
Poiché, come abbiamo già visto, i contributi sono concordi e prendiamo il campo elettrico generato da un piano infinito moltiplicato per 2.
Capacità in funzione del campo elettrico
Avendo ricavato il campo elettrico tra le piastre del condensatore, è facile riscrivere la formula della capacità. Sappiamo che il campo elettrico può essere ricavato anche dalla seguente formula
$$E=\frac{\Delta V}{\Delta s}=\frac{\Delta V}{d}$$
dove per \(\Delta V \) si indica la differenza di potenziale da punto a un altro e \(\Delta s \) lo spostamento, che nel caso del condensatore coincide con la distanza tra le due armature indicata con \(d\). Perciò
$$\Delta V=E\cdot d$$
Sostituiamo ad \(E\) il campo elettrico trovato in precedenza
$$\Delta V=\frac{\sigma}{\epsilon_0}\cdot d$$
La densità è data dal rapporto tra la quantità di carica e la superficie di un armatura
$$\sigma=\frac{Q}{S}$$
Perciò
$$\Delta V=\frac{Q}{S\cdot \epsilon_0}\cdot d$$
E infine avremo la formula cercata
$$C=\frac{ S\cdot \epsilon_0}{d}$$