Il paradosso di Monty Hall, il paradosso del compleanno, il paradosso del mentitore: questi sono tutti esempi di famosi paradossi. Ma cos’è un paradosso? Cercando sul dizionario si trova la definizione: “Proposizione che per forma o contenuto si oppone all’opinione comune o all’esperienza quotidiana, riuscendo perciò sorprendente o bizzarra”. Passando a una definizione che può avvicinarsi maggiormente all’ambito matematico, che è quello che interessa a noi, un paradosso è - definizione data da Mark Sainsbury - “una conclusione evidentemente inaccettabile, che deriva da premesse evidentemente accettabili per mezzo di un ragionamento evidentemente accettabile”. Con questa definizione un po’ contorta si può avere un po’ più chiaro il concetto di paradosso. Ma cos’è un paradosso matematico?
Paradosso in matematica
Un paradosso, quindi, altro non è che un’affermazione insolita; si tratta di una tesi o una proposizione che, partendo da determinate ipotesi, arriva a conclusioni inverosimili o inaspettate. Parlando in senso logico-linguistico, il paradosso è un ragionamento contraddittorio che deve essere accettato o un ragionamento corretto che porta però a una contraddizione.
E in matematica? Un paradosso è una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente ma che risulta lontana dall’intuizione.
In matematica, a differenza della filosofia e dell’economia, il termine paradosso e il termine antinomia si distinguono: il paradosso consiste in una proposizione eventualmente dimostrata e logicamente coerente, ma lontana dall’intuizione - come già accennato - mentre l’antinomia è una contraddizione logica vera e propria.
Il più antico e famoso paradosso che conosciamo pare essere di Epimenide ed è il già nominato paradosso del mentitore; il cretese Epimenide afferma: “Tutti i cretesi sono bugiardi”. A questo punto il problema che ci si pone davanti è evidente: se tutti i cretesi sono bugiardi ma a dirlo è un cretese, qual è la verità?
Il concetto di paradosso non ha un’origine vera e propria ma fa parte di noi, del nostro modo di ragionare, e ci sono tracce di paradossi din dall’inizio della storia scritta.
Quali sono altri paradossi? Il paradosso di Achille e della tartaruga, che racconta la storia di una corsa tra Achille e una tartaruga che parte con 500 metri di vantaggio. Sulla carta non ci sarebbe gara: Achille deve vincere. Quando Achille percorre 500 metri la tartaruga ne ha percorsi solo 50 e ne ha 50 di vantaggio sull’eroe; quando Achille copre 550 metri la tartaruga nel frattempo ne ha fatti altri 5; quando Achille recupera questi 5 la tartaruga intanto ne ha fatti altri 0,5. Il paradosso prosegue così, con una serie di distanze sempre più piccole tra Achille e la tartaruga ma con quest’ultima che andrà sempre più veloce. Logica vuole che Achille superi l’animale ma, con questo paradosso, Zenone vuole dimostrare come la scomposizione dei numeri sia potenzialmente infinita.
Nella concezione comune Achille è più veloce della tartaruga e viene logico pensare che la superi; da un punto di vista matematico, però, è chiaro che la tartaruga avrà sempre su Achille un vantaggio, seppur infinitesimale. Altri paradossi famosi sono quello di Don Chisiotte o quello del condannato a morte.