Nelle ultime lezioni abbiamo visto cosa si intende per scomposizione in fattori primi di un numero e abbiamo dato la definizione di massimo comune divisore. In questa lezione parleremo invece di minimo comune multiplo.

A questo scopo faremo largo uso della scomposizione in fattori primi di un numero e quindi, se non ti è ancora chiara, ti consiglio di tornare a dare un’occhiata alle passate lezioni.

Minimo comune multiplo: definizione

Per minimo comune multiplo di due o più numeri, così come dice il termine stesso, si intende il più piccolo numero che è contemporaneamente multiplo di tutti i numeri di partenza. Detto in altre parole: il minimo comune multiplo di due o più numeri è il più piccolo tra tutti i multipli comuni.
Questa che abbiamo riportato è da considerarsi la definizione del minimo comune multiplo, che di seguito vedremo come si calcola.

Dati dei numeri a, b, c, il minimo comune multiplo di questi numeri si indica utilizzando la seguente scrittura:

m.c.m(a,b,c).

Come trovare il minimo comune multiplo

La definizione di minimo comune multiplo è abbastanza semplice; un po’ meno chiaro è forse come si trova, vediamo come si fa.

Supponiamo di avere dei numeri di cui vogliamo trovare il massimo comune divisore. Come prima cosa scriviamo la scomposizione in fattori primi di questi numeri. Scriviamo da parte tutti i fattori primi comuni e non comuni nelle scomposizioni ed eleviamoli alla potenza più grande con cui appaiono. Il minimo comune multiplo non sarà altro che il prodotto tra tutti questi numeri che abbiamo messo da parte.

Esempio
Supponiamo di voler trovare il minimo comune multiplo di 540 , 252, 4620, cioè vogliamo trovare m.c.m(540, 252, 4620).

Come abbiamo detto, per prima cosa dobbiamo trovare la scomposizione in fattori primi di questi 3 numeri:

$540 = 5 x 2 x 2 x 3 x 3$

$252 = 2 x 2 x 3 x 3 x 7$

$4620 = 2 x 2 x 3 x 5 x 7 x 11$

Possiamo riscrivere la fattorizzazione in maniera più compatta mettendo insieme i fattori uguali nella stessa scomposizione elevando al numero di volte in cui un fattore compare all’interno della fattorizzazione invece che riscriverlo più volte:

$540 = 5 x 2^2 x 3^3$

$252 = 2^2 x 3 ^2 x 7$

$4620 = 2^2 x 3 x 5 x 7 x 11$

A questo punto possiamo identificare quali sono i fattori comuni e non comuni che appaiono nelle scomposizioni; questi fattori sono 2, 3, 5, 7 , 11. Il minimo comune multiplo si ottiene moltiplicando questi numeri elevati per la potenza più grande in cui appaiono nelle scomposizioni.

Per concludere avremo che $ m.c.m(540, 252, 4620)= 2^2 x 3^3 x 5 x 7 x 11 = 41580$

In effetti 41580 è multiplo comune dei tre numeri iniziali e non esiste nessun numero più piccolo che gode della stessa proprietà.

Proviamo ora a trovare il minimo comune multiplo dei seguenti due numeri 60 e 18. Vogliamo in altre parole trovare m.c.m(12, 18).
Come prima cosa troviamo la scomposizione in fattori primi di questi numeri e scriviamola in forma compatta.

$60 = 2^2 x 3 x 5$

$18 = 2 x 3^2$

A questo punto moltiplichiamo tra di loro i fattori comuni e non comuni elevati alla potenza più grande con cui appaiono nelle scomposizioni, abbiamo che:

$m.c.m(60, 18) = 2^2 x 3^2 x 5 = 2 x 2 x 3 x 3 x 5 = 180$

Come prova possiamo osservare che effettivamente 180 è multiplo di entrambi i numeri e non riusciamo a trovare nessun multiplo comune di 60 e 18 che sia più piccolo di 180.

Nella prossima lezione vedremo alcuni problemi che si possono risolvere sfruttando la definizione di m.c.m e M.C.D e il metodo per calcolarli che abbiamo descritto in queste ultime lezioni.