Nella scorsa lezione abbiamo parlato di proprietà associativa, in questa lezione vedremo invece la proprietà dissociativa, un’altra proprietà che si applica all’operazione di addizione e moltiplicazione ma che, ancora una volta, non vale per la sottrazione e la divisione.
In qualche senso possiamo dire che la proprietà dissociativa è la proprietà inversa rispetto alla proprietà associativa. Vediamo meglio in che senso, aiutandoci anche con qualche esempio che ci permetta di avere una visione più chiara.
Proprietà associativa dell’addizione
Mentre la proprietà associativa dell’addizione è la proprietà per cui dati più addendi di una addizione, possiamo associarli e sostituirli con la loro somma senza variare il risultato finale dell’addizione. Per la proprietà dissociativa possiamo fare un’operazione inversa: data la nostra addizione possiamo sostituire un addendo con due (o più) addendi la cui somma coincide con esso. Riassumendo e spiegandola con parole più tecniche:
“Data un’addizione possiamo sostituire un addendo con uno o più addendi la cui somma coincide con l’addendo iniziale senza variare il risultato finale della somma”
Per comprendere bene la questione vendiamo quindi un esempio, in modo da capire in che modalità si potrà applicare la proprietà.
Ad esempio dissociamo l’addendo 4 nei due addendi 2 e 2 (che hanno somma 4) nell’espressione seguente:
5 + 6 + 4 =
5 + 6 + 2 + 2 =
11 + 2 + 2 =
13 + 2 =
15
Se avessimo svolto le operazioni nell’ordine in cui compaiono avremmo ottenuto
5 + 6 + 4 =
11 + 4 =
15,
che è esattamente lo stesso risultato di prima.
Proprietà dissociativa del prodotto
Per il prodotto avviene esattamente la stessa cosa che avviene per l’addizione; più precisamente abbiamo che:
“Dato una moltiplicazione possiamo sostituire un fattore con uno o più fattori il cui prodotto coincide con il fattore iniziale senza variare il risultato finale della moltiplicazione”
Esempi
Nella seguente espressione dissociamo il 10 come il fattore di 2 e 5
3 x 2 x 10=
3 x 2 x (2 x 5) =
6 x 2 x 5 =
12 x 5 =
60,
Possiamo vedere chiaramente che è lo stesso risultato che avremmo ottenuto svolgendo i prodotti nell’ordine in cui questi appaiono nell’espressione:
3 x 2 x 10=
6 x 10 =
60.
Quando la proprietà vale e quando non vale?
Questa bella proprietà non vale però per la sottrazione e per la divisione o meglio può valere se trattata con particolare cura ed utilizzando la proprietà distributiva che verrà trattata però nelle prossime lezioni.
Chiaramente questa proprietà per l’addizione e la moltiplicazione vale anche se i numeri usati non sono interi ma decimali.
Uso della proprietà dissociativa
La proprietà dissociativa può essere utile per semplificare i conti o permettere di farne alcuni a mente senza l’utilizzo di carta e penna.
Usata insieme alla proprietà commutativa risulta un vero portento che permette di fare conti anche all’apparenza complicati in maniera semplice senza l’uso della calcolatrice o di altri strumenti. Facciamo un esempio pratico per comprendere la questione e avere chiaro un quadro chiaro.
Consideriamo la seguente espressione:
76 + 4 + 15 + 5
La sua soluzione non è ovvia, eppure, usando la proprietà dissociativa può essere riscritta nel modo seguente:
(70 + 6) + 4 + (10 + 5) + 5
Grazie alla proprietà associativa, possiamo rimettere le partentesi a nostro piacimento (possiamo cioè associare insieme diversi addendi):
70 + (6 + 4) + 10 + (5 +5) =
70 +10 +10 +10
e si ottiene facilmente come risultato il numero 100.
Nella prossima lezione affronteremo la proprietà invariantiva che finalmente è una proprietà che si applica alle sottrazioni e le divisioni.